( 2,5 pontos) Encontre a solução das seguintes equações diferenciais
4 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+8 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
4y''+8y'+8y=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{é uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem }2\text{ com coeficientes constantes},éçãáê
os coeficientes são a=4, b=8, c=8, e a incógnita é a função y(x). A tarefa é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Idéia de resolução (explicação didática): para equações homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, uma estratégia padrão é testar soluções do tipo y=e^{rx}, porque derivadas de uma exponencial geram a mesma exponencial multiplicada por constantes — isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Agora eu mostro isso passo a passo: suponha
y=e^{rx}.
As derivadas são
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação original obtemos
4(r^2 e^{rx})+8(r e^{rx})+8(e^{rx})=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficamos com a equação característica (algébrica)
4r^2+8r+8=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Aplicando a fórmula quadrática para
4r^2+8r+8=0,
temos o discriminante
\Delta = b^2-4ac = 8^2-4\cdot 4\cdot 8 = 64-128 = -64.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculando as raízes:
r=\frac{-8\pm\sqrt{-64}}{2\cdot 4}=\frac{-8\pm 8i}{8}=-1\pm i.
Portanto as raízes são \displaystyle r_1=-1+i e \displaystyle r_2=-1-i.

Passo 4

Como interpretar raízes complexas (aula rápida): se a equação característica tem raízes da forma \alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq 0), então duas soluções complexas independentes da EDO são e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x}. Usando a fórmula de Euler
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)),
as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x} são soluções reais independentes. Assim a solução geral real pode ser escrita como
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha determina decaimento/crescimento exponencial e \beta determina a oscilação (frequência).

Passo 5

Aplicando o caso ao nosso problema: das raízes obtivemos \alpha=-1 e \beta=1. Pela fórmula do passo anterior, a solução geral real é
y(x)=e^{-x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big),
com C_1,C_2\in\mathbb{R}. Essas constantes aparecem porque a EDO é de segunda ordem e a solução geral deve ter duas constantes arbitrárias.

Passo 6

Comentário final de verificação (como checar na prova): uma verificação rápida é explicar por que essa forma funciona sem fazer contas longas: substituindo y=e^{rx} na EDO chegamos à equação característica; as raízes dessa equação dão exatamente os exponenciais e^{rx}. No caso de raízes complexas conjugadas as combinações lineares das partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x} produzem as funções e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x), que são soluções reais independentes. Assim sua combinação linear com constantes arbitrárias é a solução geral.

Resposta

y(x)=e^{-x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big),\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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