( 2,5 pontos) Encontre a solução das seguintes equações diferenciais
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
os coeficientes são
,
,
, e a incógnita é a função
. A tarefa é encontrar a solução geral
.
Passo 2
Idéia de resolução (explicação didática): para equações homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, uma estratégia padrão é testar soluções do tipo
, porque derivadas de uma exponencial geram a mesma exponencial multiplicada por constantes — isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Agora eu mostro isso passo a passo: suponha
As derivadas são
Substituindo na equação original obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficamos com a equação característica (algébrica)
Passo 3
Resolver a equação característica. Aplicando a fórmula quadrática para
temos o discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculando as raízes:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Como interpretar raízes complexas (aula rápida): se a equação característica tem raízes da forma
(com
reais e
), então duas soluções complexas independentes da EDO são
e
. Usando a fórmula de Euler
as partes real e imaginária de
são soluções reais independentes. Assim a solução geral real pode ser escrita como
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Aqui
determina decaimento/crescimento exponencial e
determina a oscilação (frequência).
Passo 5
Aplicando o caso ao nosso problema: das raízes obtivemos
e
. Pela fórmula do passo anterior, a solução geral real é
com
. Essas constantes aparecem porque a EDO é de segunda ordem e a solução geral deve ter duas constantes arbitrárias.
Passo 6
Comentário final de verificação (como checar na prova): uma verificação rápida é explicar por que essa forma funciona sem fazer contas longas: substituindo
na EDO chegamos à equação característica; as raízes dessa equação dão exatamente os exponenciais
. No caso de raízes complexas conjugadas as combinações lineares das partes real e imaginária de
produzem as funções
e
, que são soluções reais independentes. Assim sua combinação linear com constantes arbitrárias é a solução geral.