Questão 4. Sejam
. Mostre que
Passo 1
O enunciado informa o seguinte e pede para provar uma desigualdade:
Objetivo: mostrar que
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades fundamentais de desigualdades que usaremos sem medo:
- Se
e , então (somar o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade). - Se
e , então (multiplicar ou dividir por um número positivo preserva a desigualdade).
Exemplo rápido para fixar: partindo de, somando obtemos ; multiplicando por obtemos .
Passo 3
Prova da primeira desigualdade
.
Partimos de
. Somando
em ambos os lados (pela propriedade 1):
Ou seja,
Agora dividimos ambos os lados por
(que é positivo, então a desigualdade se preserva, pela propriedade 2):
Passo 4
Prova da segunda desigualdade
.
Partimos novamente de
. Somando
em ambos os lados:
Ou seja,
Dividindo por
obtemos:
Passo 5
Unindo as desigualdades obtidas nos passos anteriores, temos a desigualdade em cadeia:
Intuição:
é a média aritmética de
e
, e a média aritmética fica sempre entre os dois valores. Exemplo numérico para sentir: se
e
, então
e realmente
.
Passo 6
Observação sobre igualdade estrita: se
então todas as desigualdades viram igualdades (tudo igual a
). Se
então todas as desigualdades são estritas, isto é,