Questão 4. Sejam x, y \in \mathbb{R}, \operatorname{com} x \leq y. Mostre que
x \leq \frac{x+y}{2} \leq y .

Passo 1

O enunciado informa o seguinte e pede para provar uma desigualdade:
\text{Dados }x,y\in\mathbb{R}\text{ com }x\le y.
Objetivo: mostrar que
x \leq \frac{x+y}{2} \leq y .

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades fundamentais de desigualdades que usaremos sem medo:
  1. Se \,a\le b e c\in\mathbb{R}, então \,a+c\le b+c (somar o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade).
  2. Se \,a\le b e k>0, então \,ka\le kb (multiplicar ou dividir por um número positivo preserva a desigualdade).
    Exemplo rápido para fixar: partindo de \,2\le5, somando 3 obtemos \,5\le8; multiplicando por 1/2 obtemos \,1\le2{,}5.

Passo 3

Prova da primeira desigualdade x\le \dfrac{x+y}{2}.
Partimos de \,x\le y. Somando x em ambos os lados (pela propriedade 1):
x+x \le y+x.
Ou seja,
2x \le x+y.
Agora dividimos ambos os lados por 2 (que é positivo, então a desigualdade se preserva, pela propriedade 2):
x \le \frac{x+y}{2}.

Passo 4

Prova da segunda desigualdade \dfrac{x+y}{2}\le y.
Partimos novamente de \,x\le y. Somando y em ambos os lados:
x+y \le y+y.
Ou seja,
x+y \le 2y.
Dividindo por 2>0 obtemos:
\frac{x+y}{2} \le y.

Passo 5

Unindo as desigualdades obtidas nos passos anteriores, temos a desigualdade em cadeia:
x \le \frac{x+y}{2} \le y.
Intuição: \dfrac{x+y}{2} é a média aritmética de x e y, e a média aritmética fica sempre entre os dois valores. Exemplo numérico para sentir: se x=1 e y=5, então \dfrac{x+y}{2}=3 e realmente 1\le3\le5.

Passo 6

Observação sobre igualdade estrita: se x=y então todas as desigualdades viram igualdades (tudo igual a x). Se x<y então todas as desigualdades são estritas, isto é,
x < \frac{x+y}{2} < y.

Resposta

x \le \frac{x+y}{2} \le y

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