Questão 4

(1,25 pontos) Encontre a solução da seguinte equação diferencial { }^{1} :
x^{\prime}+\frac{1}{t} x=e^{t}, x(1)=2

Passo 1

O enunciado pede encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial. Dados fornecidos:
x' + \frac{1}{t}x = e^{t},\qquad x(1)=2.
Pergunta: determinar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos usar um método sistemático para equações lineares de primeira ordem. Considere a equação linear no formato padrão
x' + p(t)\,x = g(t),
onde p(t) e g(t) são funções conhecidas de t. A ideia é multiplicar a equação por um fator integrante \mu(t) escolhido de forma que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)x(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Explicação do porquê: se multiplicarmos por \mu(t) obtemos
\mu x' + \mu p x = (\mu x)',
desde que \mu' = \mu p. A escolha \mu=\exp(\int p) satisfaz exatamente \mu'=\mu p. Depois disso integramos ambos os lados para achar \mu x, e então isolamos x.

Passo 3

Identificamos, no nosso problema, p(t)=\dfrac{1}{t} e g(t)=e^{t}. Calculamos o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big)=\exp(\ln t)=t,
aqui usamos que \int 1/t\,dt=\ln t. Observação: esse cálculo usa a função logaritmo, portanto estamos numa região onde t>0 (o ponto inicial t=1 confirma que podemos trabalhar com t>0).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=t:
t x' + x = t e^{t}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t x(t), pois
(t x)' = t x' + x.
Portanto a equação fica
(t x)' = t e^{t}.

Passo 5

Integramos ambos os membros em relação a t:
t x = \int t e^{t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular \int t e^{t}\,dt. Usamos integração por partes: escolha u=t e dv=e^{t}dt. Então du=dt e v=e^{t}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C_1 = e^{t}(t-1) + C_1.
(Nota: C_1 será absorvido na constante geral C já colocada acima.)

Passo 6

Substituindo o resultado da integral em t x temos
t x = e^{t}(t-1) + C.
Agora isolamos x dividindo por t (lembrando t\neq 0, e estamos com t>0):
x(t) = \frac{e^{t}(t-1)}{t} + \frac{C}{t} = e^{t}\Big(1-\frac{1}{t}\Big) + \frac{C}{t}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial x(1)=2. Substituindo t=1 na expressão geral:
2 = e^{1}\Big(1-\frac{1}{1}\Big) + \frac{C}{1} = e\cdot 0 + C = C.
Portanto C=2.

Passo 8

Substituindo C=2 na solução geral obtemos a solução particular:
x(t) = e^{t}\Big(1-\frac{1}{t}\Big) + \frac{2}{t}.
Podemos reescrever, se quiser, como
x(t)=e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{2}{t}.

Passo 9

Verificação rápida (sanidade): multiplicando por t obtemos t x = e^{t}(t-1)+2. Derivando os dois lados:
(t x)' = \big(e^{t}(t-1)+2\big)' = e^{t}(t-1)+e^{t} = t e^{t},
logo (t x)'=t e^{t}, que volta a equação multiplicada por t. Assim a solução satisfaz a ODE; e já usamos a condição inicial para fixar C. Lembre-se: solução válida para t>0, que contém o ponto inicial t=1.

Resposta

x(t)=e^{t}\Big(1-\frac{1}{t}\Big)+\frac{2}{t}

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