Questão 4
(1,25 pontos) Encontre a solução da seguinte equação diferencial
:
Passo 1
O enunciado pede encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial. Dados fornecidos:
Pergunta: determinar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos usar um método sistemático para equações lineares de primeira ordem. Considere a equação linear no formato padrão
onde
e
são funções conhecidas de
. A ideia é multiplicar a equação por um fator integrante
escolhido de forma que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. O fator integrante é dado por
Explicação do porquê: se multiplicarmos por
obtemos
desde que
. A escolha
satisfaz exatamente
. Depois disso integramos ambos os lados para achar
, e então isolamos
.
Passo 3
Identificamos, no nosso problema,
e
. Calculamos o fator integrante:
aqui usamos que
. Observação: esse cálculo usa a função logaritmo, portanto estamos numa região onde
(o ponto inicial
confirma que podemos trabalhar com
).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os membros em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular
. Usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
(Nota:
será absorvido na constante geral
já colocada acima.)
Passo 6
Substituindo o resultado da integral em
temos
Agora isolamos
dividindo por
(lembrando
, e estamos com
):
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Portanto
.
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular:
Podemos reescrever, se quiser, como
Passo 9
Verificação rápida (sanidade): multiplicando por
obtemos
. Derivando os dois lados:
logo
, que volta a equação multiplicada por
. Assim a solução satisfaz a ODE; e já usamos a condição inicial para fixar
. Lembre-se: solução válida para
, que contém o ponto inicial
.