( 2,5 pontos) Encontre a solução das seguintes equações diferenciais
y^{\prime}-\frac{1}{t} y=t^{2}+3 t-2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - \frac{1}{t} y = t^{2} + 3t - 2.
Informações dadas:
\text{a equação é linear de primeira ordem; o coeficiente de }y\text{ é }-\frac{1}{t}.çãéé
O que se pede: encontrar a solução geral y(t). Observação: a equação tem termos com \frac{1}{t}, portanto devemos ter em mente que t\neq 0.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma linear de 1.a ordem
y' + P(t)\,y = Q(t),
identificando
P(t) = -\frac{1}{t},\qquad Q(t)=t^{2}+3t-2.
A ideia é usar o fator integrante \mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
\int P(t)\,dt = \int -\frac{1}{t}\,dt = -\ln|t|.
Portanto
\mu(t)=e^{-\ln|t|}=|t|^{-1}.
Para trabalhar de forma explícita em um intervalo onde o sinal de t é fixo (por exemplo t>0), podemos escolher \mu(t)=\dfrac{1}{t}. Usarei \mu(t)=\dfrac{1}{t} e, quando aparecer logaritmo, manterei \ln|t| para cobrir ambos os sinais de t.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=\dfrac{1}{t}:
\frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^{2}}y = \frac{1}{t}\bigl(t^{2}+3t-2\bigr).
À esquerda reconhecemos a derivada do produto \dfrac{y}{t}, porque pela regra do produto
\left(\frac{y}{t}\right)' = \frac{y'}{t} - \frac{y}{t^{2}}.
Então a equação fica
\left(\frac{y}{t}\right)' = \frac{1}{t}\bigl(t^{2}+3t-2\bigr).

Passo 5

Simplificamos o lado direito:
\frac{1}{t}\bigl(t^{2}+3t-2\bigr)=t+3-\frac{2}{t}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \left(\frac{y}{t}\right)' dt = \int \left(t+3-\frac{2}{t}\right) dt.
No lado esquerdo a integral cancela a derivada, dando \dfrac{y}{t}. No lado direito calculamos termo a termo:
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2},\qquad \int 3\,dt = 3t,\qquad \int -\frac{2}{t}\,dt = -2\ln|t|.
Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos
\frac{y}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3t - 2\ln|t| + C.

Passo 6

Multiplicando por t para isolar y:
y(t) = t\left(\frac{t^{2}}{2} + 3t - 2\ln|t| + C\right).
Distribuindo:
y(t) = \frac{1}{2}t^{3} + 3t^{2} - 2t\ln|t| + C t,
onde C é a constante arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida (útil para treinar): calcule y' a partir da solução encontrada e verifique que y' - \dfrac{1}{t}y = t^{2}+3t-2. Ao derivar
y' = \frac{3}{2}t^{2} + 6t - 2\ln|t| - 2 + C,
e substituindo y e y' na expressão y' - \dfrac{1}{t}y obtemos exatamente t^{2}+3t-2, confirmando a solução. Lembre-se: a solução é válida em qualquer intervalo onde t\neq 0 (ou seja, em t>0 ou t<0 separadamente).

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}t^{3}+3t^{2}-2t\ln|t|+Ct,\qquad (t\neq 0,\; C\in\mathbb{R})

Exercícios relacionados