( 2,5 pontos) Encontre a solução das seguintes equações diferenciais
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a solução geral
. Observação: a equação tem termos com
, portanto devemos ter em mente que
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma linear de 1.a ordem
identificando
A ideia é usar o fator integrante
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante:
Portanto
Para trabalhar de forma explícita em um intervalo onde o sinal de
é fixo (por exemplo
), podemos escolher
. Usarei
e, quando aparecer logaritmo, manterei
para cobrir ambos os sinais de
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
À esquerda reconhecemos a derivada do produto
, porque pela regra do produto
Então a equação fica
Passo 5
Simplificamos o lado direito:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral cancela a derivada, dando
. No lado direito calculamos termo a termo:
Somando e adicionando a constante de integração
, obtemos
Passo 6
Multiplicando por
para isolar
:
Distribuindo:
onde
é a constante arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida (útil para treinar): calcule
a partir da solução encontrada e verifique que
. Ao derivar
e substituindo
e
na expressão
obtemos exatamente
, confirmando a solução. Lembre-se: a solução é válida em qualquer intervalo onde
(ou seja, em
ou
separadamente).