Exercício 1.6 Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- Determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.2. Verificar se a sequência é limitada.
Informações relevantes dadas:
- A fórmula geral da sequência é
. - Aqui vou assumir
começando em (se o índice começar em outro valor, a conclusão qualitativa não muda). - Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos olhar os primeiros termos para ter intuição. Calculemos
:
Numericamente,
. Isso sugere que a sequência decresce conforme
aumenta.
Passo 3
Lembrete útil (definição e estratégia): uma sequência
é estritamente decrescente se, para todo
,
. Uma forma direta de verificar isso é calcular a diferença
e verificar o sinal. Vou fazer isso passo a passo.
Calculemos a diferença entre termos consecutivos. Primeiro escrevemos
usando a definição:
Agora a diferença:
Colocando em uma única fração (mesmo denominador):
Observe que, para todo
, os fatores
e
são positivos, então o denominador é positivo. O numerador é
, negativo. Logo a fração inteira é negativa:
Portanto
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Uma explicação alternativa (mais conceitual) que ajuda na prova rápida em prova: a função
é estritamente crescente em
, e para números positivos a operação de reciprocidade inverte a desigualdade: se
então
. Aplicando isso com
e
obtemos imediatamente
. É a mesma conclusão, só mais curta.
Passo 5
Agora verifiquemos se a sequência é limitada. Para limitar uma sequência precisamos encontrar uma cota superior e uma cota inferior.
- Cota inferior: para todo
o denominador é positivo, então . Logo é uma cota inferior (estrita). - Cota superior: como a sequência é decrescente, o maior valor ocorre no primeiro termo (assumindo
). Assim para todo . Então é uma cota superior.
Portanto a sequência é limitada: fica entre
e
. Podemos escrever a desigualdade válida para todo
:
Comentário final útil para prova: além de ser decrescente e limitada, a sequência tende a
quando
, porque o denominador cresce sem limite. Essa observação não era pedida, mas costuma aparecer em questões relacionadas.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente.
Sim, é limitada: .
Sim, é limitada: