Exercício 1.6 Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
a_{n}=\frac{1}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{1}{2n+1} e pede duas coisas:
  1. Determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.2. Verificar se a sequência é limitada.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula geral da sequência é \displaystyle a_{n}=\frac{1}{2n+1}.
  • Aqui vou assumir n\in\mathbb{N} começando em 1 (se o índice começar em outro valor, a conclusão qualitativa não muda).
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos olhar os primeiros termos para ter intuição. Calculemos \displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}:
a_{1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}=\frac{1}{3},\qquad a_{2}=\frac{1}{2\cdot 2+1}=\frac{1}{5},\qquad a_{3}=\frac{1}{2\cdot 3+1}=\frac{1}{7}.
Numericamente, \displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{5}>\frac{1}{7}. Isso sugere que a sequência decresce conforme n aumenta.

Passo 3

Lembrete útil (definição e estratégia): uma sequência \displaystyle (a_n) é estritamente decrescente se, para todo n, \displaystyle a_{n+1}<a_n. Uma forma direta de verificar isso é calcular a diferença \displaystyle a_{n+1}-a_n e verificar o sinal. Vou fazer isso passo a passo.
Calculemos a diferença entre termos consecutivos. Primeiro escrevemos \displaystyle a_{n+1} usando a definição:
a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)+1}=\frac{1}{2n+3}.
Agora a diferença:
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+1}.
Colocando em uma única fração (mesmo denominador):
a_{n+1}-a_n=\frac{(2n+1)-(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}=\frac{-2}{(2n+3)(2n+1)}.
Observe que, para todo n\in\mathbb{N}, os fatores (2n+3) e (2n+1) são positivos, então o denominador é positivo. O numerador é -2, negativo. Logo a fração inteira é negativa:
a_{n+1}-a_n<0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Portanto \displaystyle a_{n+1}<a_n para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Uma explicação alternativa (mais conceitual) que ajuda na prova rápida em prova: a função b_n=2n+1 é estritamente crescente em n, e para números positivos a operação de reciprocidade inverte a desigualdade: se 0<x<y então \displaystyle \frac{1}{y}<\frac{1}{x}. Aplicando isso com x=2n+1 e y=2(n+1)+1 obtemos imediatamente \displaystyle a_{n+1}<a_n. É a mesma conclusão, só mais curta.

Passo 5

Agora verifiquemos se a sequência é limitada. Para limitar uma sequência precisamos encontrar uma cota superior e uma cota inferior.
  • Cota inferior: para todo n o denominador 2n+1 é positivo, então \displaystyle a_n=\frac{1}{2n+1}>0. Logo 0 é uma cota inferior (estrita).
  • Cota superior: como a sequência é decrescente, o maior valor ocorre no primeiro termo (assumindo n\ge 1). Assim \displaystyle a_n\le a_1=\frac{1}{3} para todo n. Então \displaystyle \frac{1}{3} é uma cota superior.
Portanto a sequência é limitada: fica entre 0 e \displaystyle \frac{1}{3}. Podemos escrever a desigualdade válida para todo n:
0< a_n\le \frac{1}{3}.
Comentário final útil para prova: além de ser decrescente e limitada, a sequência tende a 0 quando n\to\infty, porque o denominador cresce sem limite. Essa observação não era pedida, mas costuma aparecer em questões relacionadas.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.
Sim, é limitada: 0< a_n\le \dfrac{1}{3}.

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