(2 pontos) Encontre o valor médio da função f(x)=\operatorname{tg}^{2} x \operatorname{sec} ^{4} x no intervalo \left[0, \frac{\pi}{4}\right].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função f(x)=\tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x no intervalo \left[0,\frac{\pi}{4}\right].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x.
  • O intervalo é \left[0,\frac{\pi}{4}\right].
  • Quer-se o valor médio da função nesse intervalo (um único número).

Passo 2

Lembrete/definição que vamos usar: o valor médio de uma função f num intervalo [a,b] é
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui a=0 e b=\dfrac{\pi}{4}. Portanto o valor médio é
\frac{1}{\frac{\pi}{4}-0}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx.
Nossa tarefa reduz-se a calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx.

Passo 3

Estratégia de integração (por quê escolher isso): observe que \operatorname{sec}^{4}x=(\operatorname{sec}^{2}x)^{2} e que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Isso sugere a substituição
u=\tan x,\qquad du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Escrevemos a integral de forma a aproveitar du:
\tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx=\tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec}^{2}x\,dx).
Assim um dos fatores \operatorname{sec}^{2}x\,dx vira du e o outro \operatorname{sec}^{2}x pode ser reescrito usando a identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x.

Passo 4

Fazendo a substituição explicada:
  • Pondo u=\tan x temos du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
  • Também \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x=1+u^{2}.
    Logo
\tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec}^{2}x\,dx) = u^{2}(1+u^{2})\,du.
Mudança de limites: quando x=0, u=\tan 0=0; quando x=\dfrac{\pi}{4}, u=\tan\!\dfrac{\pi}{4}=1. Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(u^{2}+u^{4}\bigr)\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u:
\int_{0}^{1} \bigl(u^{2}+u^{4}\bigr)\,du = \int_{0}^{1} u^{2}\,du + \int_{0}^{1} u^{4}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{1}.
Avaliar nos limites:
\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3},\qquad \left.\frac{u^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Somando:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5+3}{15}=\frac{8}{15}.

Passo 6

Retornar ao valor médio usando o fator \dfrac{4}{\pi} do Passo 2:
\text{valor médio} = \frac{4}{\pi}\cdot \frac{8}{15} = \frac{32}{15\pi}.é
Esse é um número positivo; se for preciso uma aproximação decimal, \dfrac{32}{15\pi}\approx 0{,}678, mas a forma exata é preferível em prova.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{15\pi}

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