(2 pontos) Encontre os valores de e tais que tenhamos a reta ( ) que mais se aproxime aos pontos abaixo:
0
2
1
1
3
4
7
10
Dica: Encontre um sistema de equações utilizando cada par de pontos e resolva o sistema utilizando o método dos mínimos quadrados.
Resposta
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os coeficientes e da reta
que melhor se ajusta aos dados , , e
usando o método dos mínimos quadrados. Vamos montar o problema como um sistema linear sobre o vetor de incógnitas
e usar as equações normais.
Passo 2
Construímos a matriz de projeto A e o vetor de observações y assim:
A = 0 & 1 1 & 1 3 & 1 7 & 1 , y = 21410
O sistema normal é
A^TA,x = A^Ty
Passo 3
Calculamos primeiro as matrizes envolvidas:
A^TA = sum xi^2 & sum xi[6pt] sum xi & n = 0^2+1^2+3^2+7^2 & 0+1+3+7[3pt] 0+1+3+7 & 4 = 59 & 11[3pt]11 & 4,
A^Ty = sum xi,yi sum yi = 0cdot2 + 1cdot1 + 3cdot4 + 7cdot10[3pt] 2+1+4+10 = 8317 ]
Passo 4
Resolvendo (A^TA),x = A^Ty
pelas matrizes inversas, temos