Questão 09
Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:
lllx= & -2+lambda-mu y= & 2 lambda+2 mu z= & lambda+mu

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas do plano
x = -2 + lambda - mu, y = 2lambda + 2mu, z = lambda + mu,
onde lambda e mu são parâmetros. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos em R^3. Para obter a forma geral do plano, vamos extrair um ponto pertencente e dois vetores diretores, calcular o vetor normal por produto vetorial e montar a equação ncdot (r - r0)=0.

Passo 2

Escolhendo lambda=0 e mu=0 obtemos um ponto
P0 = (x,y,z)|lambda=0,mu=0 = (-2,,0,,0)
Os vetores diretores vêm das variações em lambda e em mu:
v1 = partial(x,y,z)partiallambda = (1,,2,,1), v2 = partial(x,y,z)partialmu = (-1,,2,,1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = v1 times v2 = i & j & k 1 & 2 & 1 -1 & 2 & 1 = (0,,-2,,4)
Para simplificar, podemos usar n=(0,-1,2) ou ainda n'=(0,1,-2).

Passo 4

A equação em forma vetorial é
ncdot l((x,y,z)-P0r)=0
Usando n'=(0,1,-2) e P0=(-2,0,0) obtemos
(0,1,-2)cdotl((x+2),y,(z-0)r)=0 Longrightarrow 0cdot(x+2)+1cdot y +(-2)cdot z = 0,
isto é
y - 2z = 0

Resposta

y - 2z = 0

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