(2,0 pontos) Engenharia de Alimentos - Pasteurização com regeneração Um sistema processa 1000 \mathrm{~L} / \mathrm{h} de leite ( \rho=1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=3,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ), aquecido de 4 { }^{\circ} \mathrm{C} a 72^{\circ} \mathrm{C}. Com regeneração de 90 \%, a potência externa necessária é aproximadamente:
A. 76 kW
B. 38 kW
C. 7,6 \mathrm{~kW}
D. 0,76 \mathrm{~kW}

Passo 1

O enunciado pede a potência externa necessária para aquecer leite de 4^\circ\mathrm{C} a 72^\circ\mathrm{C} com regeneração térmica de 90\%. Dados fornecidos:
\dot V = 1000\\ \mathrm{L/h} = 1\\ \mathrm{m^3/h},
\rho = 1030\\ \mathrm{kg/m^3},
c_p = 3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
temperaturas T_i=4^\circ\mathrm{C} e T_f=72^\circ\mathrm{C}.
As alternativas oferecidas são: A. 76\\ \mathrm{kW}, B. 38\\ \mathrm{kW}, C. 7{,}6\\ \mathrm{kW}, D. 0{,}76\\ \mathrm{kW}.

Passo 2

Calcular a vazão mássica (massa por segundo). Primeiro converto o volume por hora em massa por hora e depois para kg/s:
\dot m = \rho \cdot \dot V = 1030\\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 1\\ \mathrm{m^3/h} = 1030\\ \mathrm{kg/h}.
Agora converto para \mathrm{kg/s}:
\dot m = \frac{1030}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = \frac{103}{360}\\ \mathrm{kg/s} \approx 0{,}286111\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação rápida: dividir por 3600 transforma horas em segundos.

Passo 3

Apresento a fórmula que relaciona potência térmica necessária com vazão mássica e salto térmico:
\dot Q = \dot m\, c_p\, \Delta T.
Significado das variáveis:
  • \dot Q é a potência térmica (energia por tempo), em \mathrm{kW} se c_p estiver em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \dot m em \mathrm{kg/s}.
  • \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}).
  • c_p é o calor específico ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}): energia necessária para elevar 1\\ \mathrm{kg} em 1\\ \mathrm{K}.
  • \Delta T = T_f - T_i é o salto térmico em kelvin (ou °C, numericamente igual).
Observação didática: usar c_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} simplifica porque o produto \dot m c_p \Delta T fica em \mathrm{kJ/s} = \mathrm{kW}.

Passo 4

Calculo o salto térmico e a potência sem regeneração:
\Delta T = 72 - 4 = 68\\ \mathrm{K}.
Calculo c_p\Delta T:
c_p\Delta T = 3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\cdot 68\\ \mathrm{K} = 265{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora a potência necessária sem recuperar calor:
\dot Q_{\text{sem rec}} = \dot m\,(c_p\Delta T) = 0{,}286111\\ \mathrm{kg/s}\cdot 265{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Faço a multiplicação de forma exata usando a fração \dot m=\tfrac{103}{360}:
\dot Q_{\text{sem rec}} = \frac{103}{360}\cdot 265{,}2 = \frac{265{,}2\cdot 103}{360} = \frac{27315{,}6}{360} \approx 75{,}876\\ \mathrm{kW}.
Arredondando, \dot Q_{\text{sem rec}}\approx 75{,}9\\ \mathrm{kW}. Isso significa que, se não houvesse recuperação, precisaríamos de ~ 76\\ \mathrm{kW} de aquecimento.

Passo 5

Agora aplico a regeneração de 90\%. Defino a eficiência de recuperação r=0{,}90. A fração do calor que ainda precisa ser fornecida externamente é 1-r.
\dot Q_{\text{ext}} = (1-r)\,\dot Q_{\text{sem rec}} = 0{,}10\cdot 75{,}876\\ \mathrm{kW} \approx 7{,}5876\\ \mathrm{kW}.
Arredondando com razoável precisão fica \dot Q_{\text{ext}}\approx 7{,}6\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa: a potência externa necessária aproximada é 7{,}6\\ \mathrm{kW}, que corresponde à alternativa C.

Resposta

C. 7{,}6\\ \mathrm{kW}

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