3-(2 pontos) Um engenheiro realizou mediçōes em um pequeno tanque para depositar alguns residuos. As dimensōes encontradas foram x=65 cm, y=55 cm e z=35 cm, o qual cada uma das medidas foi feita com precisăo de 0,3 cm. Considerando o conceito de diferenciais e derivadas parciais, determine o maior erro possivel estimado quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, usando diferenciais e derivadas parciais, o maior erro possível ao calcular o volume de uma caixa cujas arestas medem ,x=65,cm, ,y=55,cm e ,z=35,cm, com erro de medida em cada dimensão igual a ,0,3,cm. O conteúdo aqui é propagação de erros via diferencial total.

Passo 2

O volume da caixa é dado por
V(x,y,z)=x,y,z
Para pequenas variações ,dx,dy,dz, o diferencial total dV fornece a estimativa do erro no volume:
dV = partial Vpartial x,dx + partial Vpartial y,dy + partial Vpartial z,dz

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Vpartial x = y,z, partial Vpartial y = x,z, partial Vpartial z = x,y

Passo 4

Como cada erro de medida vale ,dx=dy=dz=0,3,cm, o maior erro estimado é
dV = y,z,(0,3) + x,z,(0,3) + x,y,(0,3)

Passo 5

Substituindo x=65, y=55 e z=35:
y,z,(0,3) = 55cdot35cdot0,3 = 577,5,
x,z,(0,3) = 65cdot35cdot0,3 = 682,5,
x,y,(0,3) = 65cdot55cdot0,3 = 1072,5
Somando:
dV = 577,5 + 682,5 + 1072,5 = 2332,5,cm^3

Resposta

O maior erro possível estimado no volume é de aproximadamente 2332,5,cm^3.

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