Questão 1 (valor 10 pontos cada) Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta.
a) ( ) lim x -1 x^2x+1-lim x -1 1x+1=lim x -1[x^2x+1-1x+1]=lim x -1[x^2-1x+1]=lim x -1 x-1=-2
b) ( ) lim x 0 x^2 cos (1x)=0

Passo 1

O enunciado pede para cada afirmação determinar se é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando. O conteúdo envolve propriedades de limites (quando se pode separar limites de soma ou diferença) e o Teorema do Confronto (ou Squeeze) para limite de produto com função oscilante.

Passo 2

Analisando (a):
A expressão é
limxto -1x^2x+1 ;-;limxto -11x+1
Os dois limites individuais não existem (cada fração diverge ao se aproximar de x=-1). Logo não se pode usar a propriedade
lim(A)-lim(B)=lim(A-B)
porque exige que lim A e lim B existam finitamente.
Entretanto, se começamos diretamente com
limxto -1l[x^2x+1-1x+1r] =limxto -1x^2-1x+1
notamos que, para xneq -1,
x^2-1x+1=(x-1)(x+1)x+1=x-1,
e portanto
limxto -1(x-1)=-2
O resultado final -2 está certo, mas a etapa inicial de separar os limites é inválida. Logo a afirmação completa, incluindo essa separação, é falsa.

Passo 3

Analisando (b):
A expressão é
limxto 0x^2cos!l(tfrac1xr)
Como para todo xneq 0 vale
-1<= cos!l(tfrac1xr)<= 1,
multiplicando por x^2>=0 obtemos
-,x^2<= x^2cos!l(tfrac1xr)<= x^2
Como limxto0(-x^2)=0 e limxto0x^2=0, o Teorema do Confronto dá
limxto0x^2cos!l(tfrac1xr)=0,
portanto essa afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V

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