(5 pontos) Esboce o gráfico da função
f(x)=2 sen(x-pi2)+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=2 sen(x−π/2)+2; isso envolve o conteúdo de transformações de funções trigonométricas: amplitude, período, deslocamento de fase e deslocamento vertical, e vamos precisar identificar cada um desses para desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro vamos identificar a amplitude A, o período T, o deslocamento de fase φ e o deslocamento vertical d. Como f(x)=A·sen(x−φ)+d, temos A=2, φ=π/2 e d=2. O período da senóide é dado por T=2π.

Passo 3

Em seguida interpretamos o deslocamento de fase φ=π/2: isso significa que o gráfico de sen(x) foi deslocado π/2 unidades para a direita. O deslocamento vertical d=2 faz com que todo o gráfico seja elevado em 2 unidades.

Passo 4

Agora vamos marcar os pontos-chave em um período: escolhemos o intervalo [π/2,π/2+2π]=[π/2,5π/2]. Avaliamos f nos pontos onde o argumento x−π/2 toma valores 0, π/2, π,3π/2,2π.

Passo 5

Calculamos: para x=π/2, x−π/2=0 ⇒ f(π/2)=2·0+2=2; para x=π, x−π/2=π/2 ⇒ f(π)=2·1+2=4; para x=3π/2, x−π/2=π ⇒ f(3π/2)=2·0+2=2; para x=2π, x−π/2=3π/2 ⇒ f(2π)=2·(−1)+2=0; para x=5π/2, x−π/2=2π ⇒ f(5π/2)=2·0+2=2.

Passo 6

Com esses pontos marcados (π/2,2), (π,4), (3π/2,2), (2π,0), (5π/2,2), traçamos suavemente uma curva senoidal que oscila entre y=0 e y=4, completando um ciclo.

Resposta

O gráfico de f(x)=2 sen(x−π/2)+2 é uma senoide de amplitude 2, período 2π, deslocada π/2 para a direita e 2 unidades para cima, variando entre y=0 e y=4 no intervalo [π/2,5π/2].

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