Logo as soluções são x=2 e x=-1. Para obter as coordenadas dos pontos de interseção, calculamos y:
Para x=-1: y=4-(-1)^{2}=4-1=3. Então ponto (-1,3).
Para x=2: y=4-2^{2}=4-4=0. Então ponto (2,0).
Passo 3
Agora vamos entender qual curva fica por cima entre x=-1 e x=2 (isso determina o integrando para a área). Tomamos um valor de teste no intervalo, por exemplo x=0:
Como 4>2, entre as interseções a parábola y=4-x^{2} está acima da reta y=2-x. Fora do intervalo [-1,2] a ordem pode inverter, mas a região fechada entre as curvas (a pedida) é justamente entre as interseções x=-1 e x=2.
Passo 4
Mini-aula rápida e prática: área entre curvas
Se duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) se cruzam em x=a e x=b, a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.
Aqui f(x) é a função que dá o valor maior de y no intervalo [a,b]. Aplicamos isso com a=-1 e b=2, e f(x)=4-x^{2}, g(x)=2-x.
Interpretação final e esboço (dica prática para desenhar na prova):
Desenhe a parábola y=4-x^{2} com vértice em (0,4) e que corta o eixo x em x=\pm 2.
Desenhe a reta y=2-x passando por (0,2) com declive -1; ela cruza a parábola em (-1,3) e (2,0).
A região pedida é a “lâmina” entre as duas curvas limitada à esquerda por (-1,3) e à direita por (2,0); a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Resposta
(a) Esboço: parábola y=4-x^{2} (vértice (0,4)) e reta y=2-x; interseções em (-1,3) e (2,0). Região entre as curvas é o conjunto entre esses dois pontos, com a parábola acima da reta.
(b) \displaystyle \frac{9}{2}