(a) (2,0 pontos) Esboce a região entre as curvas y=4-x^{2} e y=2-x,-2 \leq x \leq 3.
(b) (2,0 pontos ) Calcule a area dessa região.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Esboçar a região entre as curvas y=4-x^{2} e y=2-x no intervalo -2 \le x \le 3.
  2. (b) Calcular a área dessa região.
Informações fornecidas que são relevantes:
  • As duas curvas são y=4-x^{2} (parábola com concavidade para baixo) e y=2-x (reta de declive -1 e intercepto 2).
  • O domínio considerado é -2 \le x \le 3.
    Nada mais é pedido: primeiro um esboço da região entre as duas curvas; depois a área dessa região.

Passo 2

Primeiro precisamos achar onde as curvas se encontram — essas interseções vão dar os limites em x da região fechada. Igualamos as funções:
4-x^{2}=2-x.
Passo a passo:
4-x^{2}=2-x \Rightarrow 4-x^{2}-2+x=0 \Rightarrow -x^{2}+x+2=0.
Multiplicando por -1:
x^{2}-x-2=0.
Fatorando:
(x-2)(x+1)=0.
Logo as soluções são x=2 e x=-1. Para obter as coordenadas dos pontos de interseção, calculamos y:
  • Para x=-1: y=4-(-1)^{2}=4-1=3. Então ponto (-1,3).
  • Para x=2: y=4-2^{2}=4-4=0. Então ponto (2,0).

Passo 3

Agora vamos entender qual curva fica por cima entre x=-1 e x=2 (isso determina o integrando para a área). Tomamos um valor de teste no intervalo, por exemplo x=0:
\text{parábola: } y(0)=4-0^{2}=4,\qquad \text{reta: } y(0)=2-0=2.á
Como 4>2, entre as interseções a parábola y=4-x^{2} está acima da reta y=2-x. Fora do intervalo [-1,2] a ordem pode inverter, mas a região fechada entre as curvas (a pedida) é justamente entre as interseções x=-1 e x=2.

Passo 4

Mini-aula rápida e prática: área entre curvas
  • Se duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) se cruzam em x=a e x=b, a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
  • Aqui f(x) é a função que dá o valor maior de y no intervalo [a,b]. Aplicamos isso com a=-1 e b=2, e f(x)=4-x^{2}, g(x)=2-x.

Passo 5

Montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\big((4-x^{2})-(2-x)\big)\,dx.Á
Simplificando o integrando passo a passo:
(4-x^{2})-(2-x)=4-x^{2}-2+x=2+x-x^{2}.
Então
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\big(2+x-x^{2}\big)\,dx.Á

Passo 6

Calculamos a integral termo a termo. Uma primitiva de 2+x-x^{2} é
\int(2+x-x^{2})\,dx = 2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3} + C.
Agora avaliamos entre -1 e 2:
  • Em x=2:
2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big|_{x=2} = 2\cdot 2 + \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3} = 4 + \frac{4}{2} - \frac{8}{3} = 4+2-\frac{8}{3} =6-\frac{8}{3}=\frac{18-8}{3}=\frac{10}{3}.
  • Em x=-1:
2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big|_{x=-1} = 2(-1)+\frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{(-1)^{3}}{3} = -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}.
Somando \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}, então o valor é -2+\frac{5}{6}=-\frac{12}{6}+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}.
Subtraindo:
\text{Área}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.Á

Passo 7

Interpretação final e esboço (dica prática para desenhar na prova):
  • Desenhe a parábola y=4-x^{2} com vértice em (0,4) e que corta o eixo x em x=\pm 2.
  • Desenhe a reta y=2-x passando por (0,2) com declive -1; ela cruza a parábola em (-1,3) e (2,0).
  • A região pedida é a “lâmina” entre as duas curvas limitada à esquerda por (-1,3) e à direita por (2,0); a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Resposta

(a) Esboço: parábola y=4-x^{2} (vértice (0,4)) e reta y=2-x; interseções em (-1,3) e (2,0). Região entre as curvas é o conjunto entre esses dois pontos, com a parábola acima da reta.
(b) \displaystyle \frac{9}{2}

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