Resolva a equação da onda sujeita às condições indicadas:
u(0, t)=0, \quad u(\pi, t)=0, \quad u(x, 0)=0, \quad u_{t}(x, 0)=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado fornece as condições de contorno e iniciais para a equação da onda no segmento 0<x<\pi. Vou assumir a forma padrão da equação da onda com velocidade 1:
u_{tt}=u_{xx},\qquad 0<x<\pi,\; t>0.
As condições são:
u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0,
u(x,0)=0,\qquad u_{t}(x,0)=\sin(x).
O que se pede: encontrar a solução u(x,t) que satisfaz a PDE acima juntamente com essas condições.

Passo 2

Método: procuramos soluções da forma produto u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_{tt}=u_{xx} obtemos
X(x)T''(t)=X''(x)T(t).
Dividindo por X(x)T(t) (supondo não-nula) dá
\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\text{constante}=-\lambda.
Isso gera dois problemas ordinários:
X''+\lambda X=0,\qquad T''+\lambda T=0.
As condições de contorno u(0,t)=0 e u(\pi,t)=0 implicam X(0)=0 e X(\pi)=0. Para que exista solução não-trivial para X com essas condições, os autovalores \lambda são \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, e os autovetores (autofunções) são X_{n}(x)=\sin(nx). Para cada n, a equação em T fica
T''+n^{2}T=0,
cuja solução geral é T_{n}(t)=A_{n}\cos(nt)+B_{n}\sin(nt).

Passo 3

Portanto a solução geral (superposição das modos) que respeita as condições de contorno é a série de Fourier senoidal
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(nt)+B_{n}\sin(nt)\bigr)\sin(nx).
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar A_{n} e B_{n}.
A condição u(x,0)=0
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(nx)=0.
Pela unicidade da expansão em série de senos no intervalo [0,\pi], isso implica que
A_{n}=0\qquad\text{para todo }n.
A condição u_{t}(x,0)=\sin(x) dá, calculando u_t,
u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-A_{n}n\sin(nt)+B_{n}n\cos(nt)\bigr)\sin(nx).
Em t=0 e usando A_{n}=0 fica
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}n\sin(nx)=\sin(x).
Denotando g(x)=\sin(x), esta igualdade é uma igualdade de funções no intervalo [0,\pi]. Os coeficientes B_{n} são obtidos comparando com a série de Fourier senos: se
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}G_{n}\sin(nx),
então G_{n}=B_{n}n. E sabemos que os coeficientes de Fourier senos são dados por
G_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} g(x)\sin(nx)\,dx.
Portanto
B_{n}=\frac{G_{n}}{n}=\frac{2}{\pi n}\int_{0}^{\pi} \sin(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin(x)\sin(nx)\,dx\). Usamos a ortogonalidade dos senos: para inteiros positivos \(m,n\), \[\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=\begin{cases} 0,& m\ne n,\\[4pt] \displaystyle\frac{\pi}{2},& m=n. \end{cases}
Aqui m=1\]. Logo \[\int_{0}^{\pi}\sin(x)\sin(nx)\,dx=\begin{cases} 0,& n\ne 1,\\[4pt] \displaystyle\frac{\pi}{2},& n=1. \end{cases}\] Assim os coeficientes \[G_{n} ficam
G_{n}=\frac{2}{\pi}\times\begin{cases}0,& n\ne1,\\[4pt]\dfrac{\pi}{2},& n=1,\end{cases}
isto é G_{1}=1\] e \(G_{n}=0 para n\ge2. Portanto
B_{1}=\frac{G_{1}}{1}=1,\qquad B_{n}=\frac{0}{n}=0\quad (n\ge2).]

Passo 5

Substituindo os coeficientes na série geral, como A_{n}=0 para todo n e B_{n}=0 para n\ge2 e B_{1}=1, obtemos
u(x,t)=B_{1}\sin(t)\sin(x)=\sin(x)\sin(t).
Verificações rápidas: u(0,t)=\sin(0)\sin(t)=0 e u(\pi,t)=\sin(\pi)\sin(t)=0, ótimo; u(x,0)=\sin(x)\sin(0)=0, ótimo; u_{t}(x,0)=\sin(x)\cos(0)=\sin(x), ótimo. Portanto a solução satisfaz todas as condições.

Resposta

u(x,t)=\sin(x)\sin(t)

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