O enunciado fornece as condições de contorno e iniciais para a equação da onda no segmento 0<x<\pi. Vou assumir a forma padrão da equação da onda com velocidade 1:
u_{tt}=u_{xx},\qquad 0<x<\pi,\; t>0.
As condições são:
u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0,
u(x,0)=0,\qquad u_{t}(x,0)=\sin(x).
O que se pede: encontrar a solução u(x,t) que satisfaz a PDE acima juntamente com essas condições.
Passo 2
Método: procuramos soluções da forma produto u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_{tt}=u_{xx} obtemos
As condições de contorno u(0,t)=0 e u(\pi,t)=0 implicam X(0)=0 e X(\pi)=0. Para que exista solução não-trivial para X com essas condições, os autovalores \lambda são \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, e os autovetores (autofunções) são X_{n}(x)=\sin(nx). Para cada n, a equação em T fica
T''+n^{2}T=0,
cuja solução geral é T_{n}(t)=A_{n}\cos(nt)+B_{n}\sin(nt).
Passo 3
Portanto a solução geral (superposição das modos) que respeita as condições de contorno é a série de Fourier senoidal
Denotando g(x)=\sin(x), esta igualdade é uma igualdade de funções no intervalo [0,\pi]. Os coeficientes B_{n} são obtidos comparando com a série de Fourier senos: se
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}G_{n}\sin(nx),
então G_{n}=B_{n}n. E sabemos que os coeficientes de Fourier senos são dados por
Calculemos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin(x)\sin(nx)\,dx\). Usamos a ortogonalidade dos senos: para inteiros positivos \(m,n\),
\[\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=\begin{cases} 0,& m\ne n,\\[4pt] \displaystyle\frac{\pi}{2},& m=n. \end{cases}
Aqui m=1\]. Logo
\[\int_{0}^{\pi}\sin(x)\sin(nx)\,dx=\begin{cases} 0,& n\ne 1,\\[4pt] \displaystyle\frac{\pi}{2},& n=1. \end{cases}\]
Assim os coeficientes \[G_{n} ficam
Substituindo os coeficientes na série geral, como A_{n}=0 para todo n e B_{n}=0 para n\ge2 e B_{1}=1, obtemos
u(x,t)=B_{1}\sin(t)\sin(x)=\sin(x)\sin(t).
Verificações rápidas: u(0,t)=\sin(0)\sin(t)=0 e u(\pi,t)=\sin(\pi)\sin(t)=0, ótimo; u(x,0)=\sin(x)\sin(0)=0, ótimo; u_{t}(x,0)=\sin(x)\cos(0)=\sin(x), ótimo. Portanto a solução satisfaz todas as condições.