Questão 3. Seja S a semi-esfera com equação z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, orientada pelo vetor normal cuja componente z é positiva. Determine o fluxo através de S do campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{z^{2}} \cos (z)+x, e^{z^{2}} \operatorname{sen}(z)+y, z+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fluxo através da semi-esfera S dada por z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, orientada pelo vetor normal cuja componente z é positiva, do campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{z^{2}}\cos(z)+x,\; e^{z^{2}}\sin(z)+y,\; z+1\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície S é a metade superior da esfera de raio 1 (semi-esfera superior), com z\ge 0.
  • A orientação pedida tem componente z positiva (ou seja, a normal aponta “para fora” da esfera, com n_z>0 sobre S).
  • Queremos o fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS, onde \mathbf{n} é o versor normal compatível com a orientação dada.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando o porquê de forma didática): é muito prático usar o Teorema da Divergência (Gauss) aplicando-o ao volume V que é a bola superior limitada por S e pelo disco plano D em z=0. O Teorema da Divergência diz que, para um volume V com superfície fechada \partial V orientada externamente,
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Aqui podemos tomar a superfície fechada \partial V como a união S\cup D, com orientações externas: em S a normal tem z>0 (coincide com a orientação pedida) e no disco D a normal externa aponta para baixo (ou seja, n=(0,0,-1)). Então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Vou calcular cada termo da equação acima.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}\mathbf{F}. Por definição
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{z^{2}}\cos z + x\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z^{2}}\sin z + y\big)+\frac{\partial}{\partial z}\big(z+1\big).
Agora derivamos termo a termo, lembrando que e^{z^{2}}\cos z e e^{z^{2}}\sin z não dependem de x nem de y:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{z^{2}}\cos z + x\big)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{z^{2}}\sin z + y\big)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\big(z+1\big)=1.
    Somando,
\operatorname{div}\mathbf{F}=1+1+1=3.
Comentário didático: a divergência mede, localmente, a “saída” do campo. Aqui ficou uma constante simples, o que facilita muito a integral tripla.

Passo 4

Calcular a integral tripla \iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV. Como \operatorname{div}\mathbf{F}=3 é constante,
\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV=3\cdot\operatorname{Vol}(V).
O volume V é a metade superior da bola de raio 1. O volume da esfera inteira é \dfrac{4}{3}\pi r^{3} com r=1, ou seja \dfrac{4}{3}\pi. Portanto o volume da semi-esfera é metade disso:
\operatorname{Vol}(V)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{2}{3}\pi.
Logo
\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV=3\cdot\frac{2}{3}\pi=2\pi.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D (base da semi-esfera em z=0) com a orientação externa ao volume V. O disco D é o disco unitário \{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. A normal externa ao volume, sobre D, aponta para baixo, então \mathbf{n}=(0,0,-1). O fluxo pelo disco é
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}\mathbf{F}(x,y,0)\cdot(0,0,-1)\,dS.
Avalie \mathbf{F} em z=0:
\mathbf{F}(x,y,0)=\big(e^{0}\cos 0 + x,\; e^{0}\sin 0 + y,\; 0+1\big)=(1+x,\; 0+y,\; 1).
O produto escalar com (0,0,-1) é simplesmente -1 (pois só a terceira componente contribui):
\mathbf{F}(x,y,0)\cdot(0,0,-1)=-1.
Portanto o fluxo pelo disco é a integral da função constante -1 sobre a área do disco unitário:
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=-1\cdot\operatorname{Area}(D)=-1\cdot\pi=-\pi.

Passo 6

Usar o Teorema da Divergência para relacionar os fluxos:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Substituindo os valores encontrados:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS + (-\pi)=2\pi.
Isolando o fluxo sobre S:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=2\pi+\pi=3\pi.
Interpretação rápida: a divergência constante criou um fluxo total de 2\pi saindo do volume; o disco inferior contribuiu com -\pi (entrando no volume), então a semi-esfera superior deve fornecer 3\pi para que a soma seja 2\pi.

Resposta

3\pi

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