Questão 3. Seja
a semi-esfera com equação
, orientada pelo vetor normal cuja componente
é positiva. Determine o fluxo através de
do campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede: determinar o fluxo através da semi-esfera
dada por
, orientada pelo vetor normal cuja componente
é positiva, do campo vetorial
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície
é a metade superior da esfera de raio (semi-esfera superior), com . - A orientação pedida tem componente
positiva (ou seja, a normal aponta “para fora” da esfera, com sobre ). - Queremos o fluxo
, onde é o versor normal compatível com a orientação dada.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando o porquê de forma didática): é muito prático usar o Teorema da Divergência (Gauss) aplicando-o ao volume
que é a bola superior limitada por
e pelo disco plano
em
. O Teorema da Divergência diz que, para um volume
com superfície fechada
orientada externamente,
Aqui podemos tomar a superfície fechada
como a união
, com orientações externas: em
a normal tem
(coincide com a orientação pedida) e no disco
a normal externa aponta para baixo (ou seja,
). Então
Vou calcular cada termo da equação acima.
Passo 3
Calcular a divergência
. Por definição
Agora derivamos termo a termo, lembrando que
e
não dependem de
nem de
:
-
. -
. -
.
Somando,
Comentário didático: a divergência mede, localmente, a “saída” do campo. Aqui ficou uma constante simples, o que facilita muito a integral tripla.
Passo 4
Calcular a integral tripla
. Como
é constante,
O volume
é a metade superior da bola de raio
. O volume da esfera inteira é
com
, ou seja
. Portanto o volume da semi-esfera é metade disso:
Logo
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco
(base da semi-esfera em
) com a orientação externa ao volume
. O disco
é o disco unitário
. A normal externa ao volume, sobre
, aponta para baixo, então
. O fluxo pelo disco é
Avalie
em
:
O produto escalar com
é simplesmente
(pois só a terceira componente contribui):
Portanto o fluxo pelo disco é a integral da função constante
sobre a área do disco unitário:
Passo 6
Usar o Teorema da Divergência para relacionar os fluxos:
Substituindo os valores encontrados:
Isolando o fluxo sobre
:
Interpretação rápida: a divergência constante criou um fluxo total de
saindo do volume; o disco inferior contribuiu com
(entrando no volume), então a semi-esfera superior deve fornecer
para que a soma seja
.