(2 pontos) Esboce a reta que passa pelos pontos (-2,-7) e (1,2) e encontre a equação da reta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar a reta que passa pelos pontos (-2,-7) e (1,2); (ii) encontrar a equação dessa reta. Informações dadas: os dois pontos pelos quais a reta passa são (-2,-7) e (1,2). A partir disso vamos calcular a inclinação (coeficiente angular) e obter a equação, e em seguida dar indicações práticas para o esboço.

Passo 2

Vamos começar calculando a inclinação (ou coeficiente angular) da reta. A inclinação mede “quanto a reta sobe ou desce” quando avançamos uma unidade em x. A fórmula da inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m é a inclinação; x_1,y_1 e x_2,y_2 são as coordenadas dos dois pontos. Essa fórmula vem da razão “subida (rise) sobre corrida (run)”.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os pontos dados: tomo (x_1,y_1)=(-2,-7) e (x_2,y_2)=(1,2). Substituindo,
m=\frac{2-(-7)}{1-(-2)}=\frac{2+7}{1+2}=\frac{9}{3}=3.
Portanto a inclinação da reta é \,m=3. Interpretação prática: para cada aumento de 1 em x a reta sobe 3 unidades em y.

Passo 4

Para achar a equação usamos a forma ponto-inclinação da reta, que é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido na reta e m é a inclinação. Vou usar o ponto (1,2) (poderia usar o outro, dá no mesmo). Substituindo m=3 e (x_0,y_0)=(1,2) obtemos
y-2=3(x-1).

Passo 5

Transformo essa expressão para a forma mais comum y=mx+b (forma reduzida ou inclinacao-intercepto). Desenvolvendo o lado direito:
y-2=3x-3.
Agora somo 2 em ambos os lados:
y=3x-3+2,
y=3x-1.
Então a equação da reta é \;y=3x-1. Para checar, substituo o outro ponto (-2,-7): 3(-2)-1=-6-1=-7, confere.

Passo 6

Para esboçar a reta no papel quadriculado, é útil localizar interceptos e usar a inclinação. Interceptos:
  • Intercepto em y (quando x=0): \;y=3\cdot 0-1=-1. Então o ponto (0,-1) está na reta.
  • Intercepto em x (quando y=0): resolvo 0=3x-1 obtendo \;x=\frac{1}{3}. Então o ponto \left(\frac{1}{3},0\right) está na reta.
Modo prático de desenhar: marque os pontos dados (-2,-7) e (1,2) (ou marque (0,-1) e (1/3,0)), depois use a inclinação m=3 que diz "da esquerda para a direita, sobe 3 unidades quando anda 1 em x". Por exemplo, a partir de (-2,-7) ir uma unidade para a direita ( x=-1) e subir 3 unidades dá o ponto (-1,-4); mais uma unidade dá (0,-1); mais uma dá (1,2). Trace a reta passando por esses pontos.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: já temos a equação e pontos suficientes para desenhar. Na prova, faça exatamente esses passos: calcule m pela fórmula, use a forma ponto-inclinação, passe para y=mx+b, e para o esboço marque dois ou três pontos e trace a reta. Você tem tudo pronto — manda ver!

Resposta

Equação da reta: y=3x-1
Para esboçar: plote os pontos (-2,-7), (1,2) e os interceptos (0,-1), \left(\frac{1}{3},0\right); a reta sobe 3 para cada 1 que avança em x.

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