Calcule as integrais usando substituicion trigonometrica:
\int \frac{x^{5} d x}{\sqrt{x^{2}+16}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{5}\,dx}{\sqrt{x^{2}+16}}.
Informações relevantes dadas:
\text{Integrando: } \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+16}}.
Não há outras restrições (domínio, constantes etc.). A tarefa é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}, uma substituição trigonométrica padrão é
x = a\tan\theta,
porque isso transforma \sqrt{x^{2}+a^{2}} em a\operatorname{sec}\theta, que elimina a raiz e nos dá funções trigonométricas fáceis de manipular. Aqui a=4 pois x^{2}+16 = x^{2}+4^{2}. Vou usar essa substituição e mostrar passo a passo por que funciona.

Passo 3

Faço a substituição trigonométrica:
x = 4\tan\theta.
Agora calculo dx e a raiz em termos de \theta.
Derivando,
dx = 4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Para a raiz,
\sqrt{x^{2}+16} = \sqrt{16\tan^{2}\theta + 16} = \sqrt{16(\tan^{2}\theta+1)} = 4\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta} = 4\operatorname{sec}\theta,
onde usei a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta. Tomamos \operatorname{sec}\theta\ge0 compatível com a transformação (padrão em integrais indefinidas).

Passo 4

Substituo x, dx e a raiz na integral. Primeiro calcule x^{5} e o fator completo:
x^{5} = (4\tan\theta)^{5} = 4^{5}\tan^{5}\theta.
Substituindo tudo na integral:
\int \frac{x^{5}\,dx}{\sqrt{x^{2}+16}} = \int \frac{4^{5}\tan^{5}\theta \cdot (4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta)}{4\operatorname{sec}\theta}.
Agora simplifico constantes e fatores trigonométricos:
\frac{4^{5}\cdot 4}{4} = 4^{5},
e para as funções trigonométricas
\tan^{5}\theta \cdot \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta} = \tan^{5}\theta\operatorname{sec}\theta.
Portanto a integral vira
\int \frac{x^{5}\,dx}{\sqrt{x^{2}+16}} = 4^{5}\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Como 4^{5}=1024, escrevo
\int \frac{x^{5}\,dx}{\sqrt{x^{2}+16}} = 1024\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora precisamos calcular
\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Uma técnica útil quando aparece um produto com \operatorname{sec}\theta\tan\theta é fazer a substituição
u = \operatorname{sec}\theta,
porque du = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta. Para usar isso, escrevo \tan^{5}\theta como (\tan^{2}\theta)^{2}\tan\theta e uso \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Assim:
\tan^{5}\theta = (\tan^{2}\theta)^{2}\tan\theta = (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)^{2}\tan\theta.
Logo
\tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta = (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)^{2}\,\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Agora a substituição u=\operatorname{sec}\theta encaixa perfeitamente porque o último fator é exatamente du.

Passo 6

Faço a substituição u=\operatorname{sec}\theta, du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta. Assim
\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)^{2}\,(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta) = \int (u^{2}-1)^{2}\,du.

Passo 7

Expando e integro em u:
(u^{2}-1)^{2} = u^{4}-2u^{2}+1.
Então
\int (u^{4}-2u^{2}+1)\,du = \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} + u + C.
Como havia um fator 1024 antes, temos
1024\int \tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta = 1024\left(\frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} + u\right) + C.

Passo 8

Volto de u para \theta usando u=\operatorname{sec}\theta:
= 1024\left(\frac{\operatorname{sec}^{5}\theta}{5} - \frac{2\operatorname{sec}^{3}\theta}{3} + \operatorname{sec}\theta\right) + C.

Passo 9

Agora retorno de \theta para x. Lembre que fiz x=4\tan\theta, então
\tan\theta = \frac{x}{4},\qquad \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{16}} = \frac{\sqrt{x^{2}+16}}{4}.
Substituo \operatorname{sec}\theta na expressão. Como 1024=4^{5}, as potências de 4 vão simplificar com os denominadores:
Primeiro termo:
1024\cdot \frac{\operatorname{sec}^{5}\theta}{5} = 4^{5}\cdot \frac{1}{5}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{4}\right)^{5} = \frac{4^{5}}{5}\cdot \frac{(x^{2}+16)^{5/2}}{4^{5}} = \frac{(x^{2}+16)^{5/2}}{5}.
Segundo termo:
1024\cdot\left(-\frac{2\operatorname{sec}^{3}\theta}{3}\right) = -\frac{2048}{3}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{4}\right)^{3} = -\frac{2048}{3}\cdot \frac{(x^{2}+16)^{3/2}}{4^{3}} = -\frac{2048}{3}\cdot \frac{(x^{2}+16)^{3/2}}{64} = -\frac{32}{3}(x^{2}+16)^{3/2}.
Terceiro termo:
1024\cdot \operatorname{sec}\theta = 1024\cdot \frac{\sqrt{x^{2}+16}}{4} = 256\sqrt{x^{2}+16}.

Passo 10

Juntando os três termos e adicionando a constante C, a primitiva fica
\int \frac{x^{5}\,dx}{\sqrt{x^{2}+16}} = \frac{(x^{2}+16)^{5/2}}{5} - \frac{32}{3}(x^{2}+16)^{3/2} + 256(x^{2}+16)^{1/2} + C.
Se quiser, pode fatorar (x^{2}+16)^{1/2}, mas a forma acima já é uma expressão limpa e correta da primitiva.

Resposta

\displaystyle \frac{(x^{2}+16)^{5/2}}{5} - \frac{32}{3}(x^{2}+16)^{3/2} + 256\,(x^{2}+16)^{1/2} + C

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