Calcule as integrais usando substituicion trigonometrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
Não há outras restrições (domínio, constantes etc.). A tarefa é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida e apresentar a constante de integração
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando aparece uma raiz do tipo
, uma substituição trigonométrica padrão é
porque isso transforma
em
, que elimina a raiz e nos dá funções trigonométricas fáceis de manipular. Aqui
pois
. Vou usar essa substituição e mostrar passo a passo por que funciona.
Passo 3
Faço a substituição trigonométrica:
Agora calculo
e a raiz em termos de
.
Derivando,
Para a raiz,
onde usei a identidade trigonométrica
. Tomamos
compatível com a transformação (padrão em integrais indefinidas).
Passo 4
Substituo
,
e a raiz na integral. Primeiro calcule
e o fator completo:
Substituindo tudo na integral:
Agora simplifico constantes e fatores trigonométricos:
e para as funções trigonométricas
Portanto a integral vira
Como
, escrevo
Passo 5
Agora precisamos calcular
Uma técnica útil quando aparece um produto com
é fazer a substituição
porque
. Para usar isso, escrevo
como
e uso
. Assim:
Logo
Agora a substituição
encaixa perfeitamente porque o último fator é exatamente
.
Passo 6
Faço a substituição
,
. Assim
Passo 7
Expando e integro em
:
Então
Como havia um fator
antes, temos
Passo 8
Volto de
para
usando
:
Passo 9
Agora retorno de
para
. Lembre que fiz
, então
Substituo
na expressão. Como
, as potências de
vão simplificar com os denominadores:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 10
Juntando os três termos e adicionando a constante
, a primitiva fica
Se quiser, pode fatorar
, mas a forma acima já é uma expressão limpa e correta da primitiva.