Questão 4. Considere as séries divergentes
e
. Podemos afirmar que a série
é divergente? justifique.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado: as séries
e são divergentes. Isso significa que as suas somas parciais não convergem (vou definir melhor isso no próximo passo).\n - Pergunta: Podemos afirmar que a série
é divergente? Justifique.\n
Observações importantes extraídas do enunciado: temos apenas a informação de que cada série individual é divergente; não nos foi dito se divergem para, para ou se apenas não têm limite (podem oscilar). Não há mais hipóteses sobre sinais, monotonia ou natureza dos termos.
Passo 2
Conceitos essenciais (passo-a-passo didático):\n
- O que é uma série e soma parcial: para uma sequência de termos
, a série é a sequência das somas parciais
A série converge quando a sequência
tem limite finito quando
. Se
não tem limite finito, dizemos que a série diverge.\n
- Tipos de divergência: dizer que uma série diverge pode significar coisas diferentes: (i) as somas parciais tendem a
(divergência para ); (ii) tendem a (divergência para ); (iii) não têm limite nem infinito (por exemplo, os oscilam). É crucial distinguir esses casos.\n - Linearidade em séries convergentes: se
e convergem, então converge e
A prova disso é simples: seja
com
e
com
. Então
. Essa propriedade, porém, exige convergência de ambas as séries; não vale para séries divergentes sem mais hipóteses.
Passo 3
Ideia central para decidir a pergunta: para concluir algo sobre
precisamos olhar para as somas parciais
onde
e
. Mesmo que
e
não tenham limite, suas somas podem ter comportamento diferente: podem divergir também, ou podem cancelar-se e dar um limite finito. Portanto, não é imediato que
deva divergir só porque
e
divergem.
Passo 4
Contraexemplo explicadinho (prova concreta de que a afirmação geral é falsa):\n
- Tome
. A série é a famosa série harmônica e é divergente. Um argumento clássico e simples para a divergência é agrupar termos:
Em cada bloco a soma é pelo menos
, então as somas parciais crescem sem limite; portanto
.\n
- Tome
. Então , ou seja, também diverge (para ).\n - Agora olhe os termos somados: para todo
,
Logo a série
é a série de termos nulos, cujas somas parciais são todas
. Portanto
converge (para
).\n
Conclusão do contraexemplo: temos duas séries divergentes, mas a série das somas dos termos é convergente. Isso mostra que NÃO é possível afirmar, em geral, que seja divergente.
Conclusão do contraexemplo: temos duas séries divergentes, mas a série das somas dos termos é convergente. Isso mostra que NÃO é possível afirmar, em geral, que
Passo 5
Condições que garantem divergência (quando podemos afirmar):\n
- Se
diverge para e tem somas parciais que são sempre maiores ou iguais a algum número finito (por exemplo, se todos os ), então
portanto
diverge para
. A ideia do argumento: se
então para qualquer
existe
tal que
; somando algo que não destrua esse crescimento (por exemplo
não sendo
) mantém o divergir para
.\n
- Se
e , então claramente (soma de dois termos que vão para também vai para ).\n
Resumo prático para a prova: se você só sabe que cada série “diverge”, então não dá para concluir nada sobre a soma — procure sinais, monotonia ou o tipo de divergência (±∞). Se descobrir que ambas divergem para o mesmo infinito, ou que uma diverge parae a outra tem termos não-negativos, aí sim você pode concluir divergência.
Passo 6
Dicas de resolução rápida em prova (guia passo-a-passo mental):\n
- Escreva
, , .\n - Verifique o tipo de divergência de
e : tendem a , a , oscilam, ou você não sabe?\n - Se ambos tendem ao mesmo infinito (
ou ), então tende ao mesmo infinito e a série diverge. Se um tende a e o outro é limitado inferiormente, . Caso contrário (principalmente se os sinais permitirem cancelamento), apresente um contraexemplo ou mostre a possibilidade de cancelamento.\n - Lembre-se: existência de divergência individual não implica divergência da soma — sempre considere a possibilidade de cancelamento termo a termo.
Resposta
Não. Em geral não se pode afirmar que
é divergente (ex.:
,
são divergentes individualmente, mas
converge para
).