Questão 4. Considere as séries divergentes \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}. Podemos afirmar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) é divergente? justifique.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: as séries \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} são divergentes. Isso significa que as suas somas parciais não convergem (vou definir melhor isso no próximo passo).\n
  • Pergunta: Podemos afirmar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) é divergente? Justifique.\n
    Observações importantes extraídas do enunciado: temos apenas a informação de que cada série individual é divergente; não nos foi dito se divergem para +\infty, para -\infty ou se apenas não têm limite (podem oscilar). Não há mais hipóteses sobre sinais, monotonia ou natureza dos termos.

Passo 2

Conceitos essenciais (passo-a-passo didático):\n
  • O que é uma série e soma parcial: para uma sequência de termos (a_n), a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série converge quando a sequência (S_N) tem limite finito quando N\to\infty. Se (S_N) não tem limite finito, dizemos que a série diverge.\n
  • Tipos de divergência: dizer que uma série diverge pode significar coisas diferentes: (i) as somas parciais tendem a +\infty (divergência para +\infty); (ii) tendem a -\infty (divergência para -\infty); (iii) não têm limite nem infinito (por exemplo, os S_N oscilam). É crucial distinguir esses casos.\n
  • Linearidade em séries convergentes: se \sum a_n e \sum b_n convergem, então \sum (a_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty b_n.
A prova disso é simples: seja S_N=\sum_{n=1}^N a_n com S_N\to S e T_N=\sum_{n=1}^N b_n com T_N\to T. Então S_N+T_N=\sum_{n=1}^N (a_n+b_n)\to S+T. Essa propriedade, porém, exige convergência de ambas as séries; não vale para séries divergentes sem mais hipóteses.

Passo 3

Ideia central para decidir a pergunta: para concluir algo sobre \sum (a_n+b_n) precisamos olhar para as somas parciais
U_N=\sum_{n=1}^N (a_n+b_n)=S_N+T_N,
onde S_N=\sum_{n=1}^N a_n e T_N=\sum_{n=1}^N b_n. Mesmo que S_N e T_N não tenham limite, suas somas podem ter comportamento diferente: podem divergir também, ou podem cancelar-se e dar um limite finito. Portanto, não é imediato que U_N deva divergir só porque S_N e T_N divergem.

Passo 4

Contraexemplo explicadinho (prova concreta de que a afirmação geral é falsa):\n
  • Tome \displaystyle a_n=\frac{1}{n}. A série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} é a famosa série harmônica e é divergente. Um argumento clássico e simples para a divergência é agrupar termos:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots.
Em cada bloco a soma é pelo menos \tfrac{1}{2}, então as somas parciais crescem sem limite; portanto \sum \frac{1}{n}=\infty.\n
  • Tome \displaystyle b_n=-\frac{1}{n}. Então \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n=-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=-\infty, ou seja, também diverge (para -\infty).\n
  • Agora olhe os termos somados: para todo n,
a_n+b_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n}=0.
Logo a série \sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) é a série de termos nulos, cujas somas parciais são todas 0. Portanto \sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) converge (para 0).\n
Conclusão do contraexemplo: temos duas séries divergentes, mas a série das somas dos termos é convergente. Isso mostra que NÃO é possível afirmar, em geral, que \sum (a_n+b_n) seja divergente.

Passo 5

Condições que garantem divergência (quando podemos afirmar):\n
  • Se \sum a_n diverge para +\infty e \sum b_n tem somas parciais que são sempre maiores ou iguais a algum número finito (por exemplo, se todos os b_n\ge 0), então
U_N=S_N+T_N\to+\infty,
portanto \sum (a_n+b_n) diverge para +\infty. A ideia do argumento: se S_N\to+\infty então para qualquer M existe N tal que S_N>M; somando algo que não destrua esse crescimento (por exemplo T_N não sendo -\infty) mantém o divergir para +\infty.\n
  • Se \sum a_n\to+\infty e \sum b_n\to+\infty, então claramente \sum (a_n+b_n)\to+\infty (soma de dois termos que vão para +\infty também vai para +\infty).\n
    Resumo prático para a prova: se você só sabe que cada série “diverge”, então não dá para concluir nada sobre a soma — procure sinais, monotonia ou o tipo de divergência (±∞). Se descobrir que ambas divergem para o mesmo infinito, ou que uma diverge para +\infty e a outra tem termos não-negativos, aí sim você pode concluir divergência.

Passo 6

Dicas de resolução rápida em prova (guia passo-a-passo mental):\n
  1. Escreva S_N=\sum_{n=1}^N a_n, T_N=\sum_{n=1}^N b_n, U_N=S_N+T_N.\n
  2. Verifique o tipo de divergência de S_N e T_N: tendem a +\infty, a -\infty, oscilam, ou você não sabe?\n
  3. Se ambos tendem ao mesmo infinito ( +\infty ou -\infty), então U_N tende ao mesmo infinito e a série diverge. Se um tende a +\infty e o outro é limitado inferiormente, U_N\to+\infty. Caso contrário (principalmente se os sinais permitirem cancelamento), apresente um contraexemplo ou mostre a possibilidade de cancelamento.\n
  4. Lembre-se: existência de divergência individual não implica divergência da soma — sempre considere a possibilidade de cancelamento termo a termo.

Resposta

Não. Em geral não se pode afirmar que \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}) é divergente (ex.: a_n=\tfrac{1}{n}, b_n=-\tfrac{1}{n} são divergentes individualmente, mas \sum (a_n+b_n) converge para 0).

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