Questão 5. Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} uma série convergente. Podemos afirmar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| converge ? justifique.

Passo 1

O enunciado diz que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente. A pergunta é: podemos afirmar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| também converge? Não há nenhuma outra hipótese sobre os a_{n} além da convergência da primeira série. O que se pede é uma afirmação (sim/não) acompanhada de justificativa.

Passo 2

Primeiro, vamos aprender uma coisa útil que costuma aparecer nas provas: se a série \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| converge, então a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} também converge. Vou provar isso rapidamente porque é uma ferramenta que ajuda a entender a diferença entre convergência absoluta e condicional. Seja
s_N=\sum_{n=1}^{N}a_n
o N-ésimo somatório parcial de \sum a_n. Para m>n temos, pela desigualdade triangular,
\left|s_m-s_n\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right|\le\sum_{k=n+1}^{m}\left|a_k\right|.
Se \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| converge, então as somas parciais da série de termos não-negativos formam uma sequência de Cauchy, logo as caudas \sum_{k=n+1}^{\infty}\left|a_k\right| vão a 0 quando n\to\infty. Assim para todo \varepsilon>0 existe N tal que para m>n\ge N temos \left|s_m-s_n\right|<\varepsilon. Isso mostra que (s_N) é sequênciade Cauchy e, portanto, converge. Conclusão: convergência absoluta (isto é, \sum |a_n| converge) implica convergência.

Passo 3

A consequência prática é: a recíproca pode ou não ser verdadeira — precisamos verificar. A melhor forma de responder a uma pergunta do tipo “podemos afirmar … ?” é tentar encontrar um contraexemplo: um caso em que \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge. Vou construir um contraexemplo clássico e didático.

Passo 4

Considere a sequência
a_n = \frac{(-1)^{\,n+1}}{n},
ou seja, os termos formam a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} conhecida como série harmônica alternada. Vou mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge usando o critério de Leibniz (teste das séries alternadas):
Critério de Leibniz (enunciado e como usar): se temos uma série da forma \sum (-1)^{n} b_n com b_n\ge0, e se as b_n são monotonicamente decrescentes ( b_{n+1}\le b_n para todo n) e tendem a zero ( \lim_{n\to\infty} b_n=0), então a série converge.
Aqui tomamos b_n=1/n. Verificações:
  • b_n>0 para todo n.
  • b_{n+1}=1/(n+1)\le 1/n=b_n, logo é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}1/n=0.
Portanto, por Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
converge. (Valor conhecido: converge para \ln 2, mas isso não é necessário para a argumentação.)

Passo 5

Agora calcule a série das normas dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. Vou mostrar que a série harmônica diverge por um argumento clássico de comparação por agrupamento:
Considere as somas parciais da harmônica:
S_1=1,\quad S_2=1+\tfrac12,\quad S_4=1+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14,\\ \ldots
Agrupando termos por blocos de tamanho potência de 2:
\begin{aligned} 1 &\ge 1,\\\ \tfrac12 &\ge \tfrac12,\\\ \tfrac13+\tfrac14 &\ge 2\cdot \tfrac14=\tfrac12,\\\ \tfrac15+\tfrac16+\tfrac17+\tfrac18 &\ge 4\cdot \tfrac18=\tfrac12,\\\ \text{e assim por diante.} \end{aligned}
Em cada bloco de 2^{k-1} termos (dos índices 2^{k-1}+1 até 2^k) a soma é ao menos \tfrac12. Assim, após m blocos temos soma parcial pelo menos
1+\frac12+\underbrace{\frac12+\frac12+\cdots+\frac12}_{m-1\\ \text{vezes}}=1+\frac m2,
que cresce sem limite quando m\to\infty. Logo a série harmônica diverge. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| diverge.

Passo 6

Temos então um exemplo concreto onde \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge mas \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| diverge. Isso mostra que, em geral, a convergência de \sum a_n não implica a convergência de \sum |a_n|. Quando \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverga dizemos que \sum a_n é condicionalmente convergente.

Resposta

Não. Contraexemplo: a_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}. A série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge (teste de Leibniz), mas \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (série harmônica).

Exercícios relacionados