(3 pontos) Uma escada de grande comprimento (maior que 5 metros) está encostada contra uma parede lisa (atrito desprezível) e apoiada sobre um chão rugoso (atrito não desprezível). Um trabalhador decide subir pela escada, sempre acompanhando a linha central. Contudo, em alguns momentos, ele se desloca de lado, mas sempre mantendo os pés na mesma altura (mesmo degrau).
Considerando que o sistema está em equilíbrio, explique de forma crítica, como as mudanças de posição do trabalhador influenciam a possibilidade de escorregamento da base da escada. Justifique a resposta apresentando os DCL pertinentes.

Passo 1

O enunciado descreve uma escada homogênea de comprimento L>5,m apoiada num piso rugoso (atrito \mu\neq0) e encostada numa parede lisa (sem atrito). Um trabalhador de peso P sobe sempre ao mesmo degrau (mesma altura h), mas desloca-se lateralmente sobre a escada. Precisamos avaliar, em regime de equilíbrio estático, como esse deslocamento lateral afeta a tendência de escorregamento da base. O conteúdo envolve estática de corpos rígidos, forças de atrito, reações de apoio e equilíbrio de momentos.

Passo 2

Desenhamos o diagrama de corpo livre (DCL) na visão lateral (plano de perfil):
— No ponto de contato com o chão atuam a reação normal vertical \vec N_f e a força de atrito \vec f horizontal para a esquerda.
— No ponto de contato com a parede atua apenas a reação normal horizontal \vec N_w para dentro do muro.
— No ponto onde está o trabalhador (altura fixa h sobre o chão) atua o peso \vec P para baixo.

Passo 3

Escrevemos as equações de equilíbrio no plano lateral: \displaystyle\sum F_x=0\implies f = N_w. \displaystyle\sum F_y=0\implies N_f = P. Momento em torno do ponto de apoio no chão (positivo anti–horário):
\sum M_{\text{chão}}=0\implies N_w\;h \;-\;P\;d \;=\;0,ã
onde d é a projeção horizontal do ponto onde o trabalhador aplica P. Como a escada faz um ângulo \theta com o chão, d/h=\cot\theta, daí
N_w = P\,\frac{d}{h} = P\,\cot\theta \quad\Longrightarrow\quad f = P\,\cot\theta.
Para não deslizar, é necessário
f \le \mu\,N_f \quad\Longrightarrow\quad P\,\cot\theta \le \mu\,P \quad\Longrightarrow\quad \cot\theta \le \mu.

Passo 4

Da análise 2D vemos que a altura h e, portanto, o local do peso P no degrau não entra na condição final de não deslizamento (só \theta e \mu aparecem). Logo, um deslocamento lateral do trabalhador—mantendo a mesma altura h—não altera as equações acima nem a condição \cot\theta \le \mu.

Passo 5

Em uma escada real, entretanto, existe largura e duas sapatas de apoio. Se o trabalhador sai da linha central e vai para um dos lados, ele gera um momento torsor em torno do eixo longitudinal da escada, alterando a distribuição das reações normais no piso entre a sapata esquerda N_1 e a direita N_2.

Passo 6

Desenhamos o DCL em vista superior:
— As duas reações normais N_1 e N_2 na base estão separadas por largura b.
— O trabalhador deslocado lateralmente aplica um momento torsor T = P\,r, onde r é a distância lateral até a linha média da escada.
Equilíbrio de torques em torno do eixo longitudinal:
N_2\,\frac{b}{2} \;-\; N_1\,\frac{b}{2} \;-\; P\,r \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad N_2 - N_1 = \frac{2P\,r}{b}.
Como N_1+N_2 = N_f = P, obtemos
N_1 = \tfrac12\bigl(P - \tfrac{2P\,r}{b}\bigr), \quad N_2 = \tfrac12\bigl(P + \tfrac{2P\,r}{b}\bigr).
Se r se aproxima de b/2, então N_1\to0 (uma sapata levanta) e o atrito máximo disponível cai para
f_{\max} = \mu\,N_2 < \mu\,P,
facilitando o escorregamento.

Resposta

Na análise 2D pura (vista de perfil), mudar de lado no mesmo degrau não altera o equilíbrio estático nem a condição \cot\theta\le\mu de não escorregamento. Mas criticamente, por ser uma escada com duas sapatas no piso, esse deslocamento lateral gera um momento torsor que redistribui as reações normais entre as sapatas. Se o trabalhador chega muito perto de uma borda, a sapata oposta pode até perder contato N_1=0, reduzindo o atrito total e aumentando o risco de escorregamento da base.

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