(Vale: 2,0) Verifique se a série
sumn=1^infty (-1)^n(n+2)^3n^4+5 n
é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Especifique o(s) Teste(s) utilizado(s) e justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. A questão pede para verificar se a série
sumn=1^infty (-1)^n(n+2)^3n^4+5 n
é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar testes de convergência apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se considerarmos:
sumn=1^infty | (-1)^n(n+2)^3n^4+5 n |
se essa série converge, então a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dos termos absolutos:
| (-1)^n(n+2)^3n^4+5 n | = (n+2)^3n^4+5 n
Para verificar a convergência dessa série, podemos comparar com uma série p conhecida, como sum 1n, que é a série harmônica e é divergente.
Observando a expressão simplificada:
(n+2)^3n^4+5 n approx n^3n^4 = 1n
Para n grande, (n+2)^3 é aproximadamente n^3 e n^4 + 5n é aproximadamente n^4.

Passo 4

Assim, temos que a série dos valores absolutos se comporta de maneira semelhante à série harmônica sum 1n, que sabemos que é divergente. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que afirma que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. an é uma sequência decrescente.
  3. limn to infty an = 0.
No nosso caso:
an = (n+2)^3n^4+5 n
  • Positividade: an > 0 para todo n >= 1.
  • Decrescimento: À medida que n aumenta, (n+2)^3n^4+5 n diminui.
  • Limite:
limn to infty (n+2)^3n^4+5 n = limn to infty n^3(1 + 2n)^3n^4(1 + 5n^3) = limn to infty 1n cdot (1 + 2n)^31 + 5n^3 = 0
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty (-1)^n(n+2)^3n^4+5 n
é condicionalmente convergente pelo Teste da Série Alternada.

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