( 3 pontos) Escolha 2 das 3 integrais a seguir e resolva detalhadamente.
integral x^2-3 x+1(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral integral x^2 - 3x + 1(x - 1)^3 , dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição e simplificação das frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar os cálculos. Seja u = x - 1. Isso significa que du = dx e x = u + 1.

Passo 3

Agora, vamos substituir x por u + 1 na expressão do numerador:
x^2 - 3x + 1 = (u + 1)^2 - 3(u + 1) + 1
Vamos expandir isso:
(u + 1)^2 = u^2 + 2u + 1
Então:
u^2 + 2u + 1 - 3u - 3 + 1 = u^2 - u - 1
Portanto, a integral fica:
integral u^2 - u - 1u^3 , du

Passo 4

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador u^3:
u^2u^3 - uu^3 - 1u^3 = 1u - 1u^2 - 1u^3
Então, a integral fica:
integral ( 1u - 1u^2 - 1u^3 ) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
  • integral 1u , du = ln|u|
  • integral 1u^2 , du = -1u
  • integral 1u^3 , du = -12u^2
Aplicando isso, temos:
ln|u| - ( -1u ) - ( -12u^2 ) + C = ln|u| + 1u + 12u^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por x - 1:
ln|x - 1| + 1x - 1 + 12(x - 1)^2 + C

Resposta

A integral integral x^2 - 3x + 1(x - 1)^3 , dx é igual a:
ln|x - 1| + 1x - 1 + 12(x - 1)^2 + C

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