( 3 pontos) Escolha 2 das 3 integrais a seguir e resolva detalhadamente.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral
[
\int x^2 e^x , dx
]
O conteúdo principal é integração por partes, que usa a fórmula
[
\int u , dv = u v - \int v , du
]
e vamos aplicá-la duas vezes.
[
\int x^2 e^x , dx
]
O conteúdo principal é integração por partes, que usa a fórmula
[
\int u , dv = u v - \int v , du
]
e vamos aplicá-la duas vezes.
Passo 2
Escolhemos
[
u = x^2, \quad dv = e^x , dx
]
que gera
[
du = 2x , dx, \quad v = e^x
].
[
u = x^2, \quad dv = e^x , dx
]
que gera
[
du = 2x , dx, \quad v = e^x
].
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
[
\int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - \int 2x e^x , dx
].
[
\int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - \int 2x e^x , dx
].
Passo 4
Para calcular
fatoramos
e aplicamos novamente partes definindo
[
u_1 = x, \quad dv_1 = e^x , dx
]
com
[
du_1 = dx, \quad v_1 = e^x
],
logo
[
\int x e^x , dx = x e^x - \int e^x , dx = x e^x - e^x
]
e assim
[
\int 2x e^x , dx = 2(x e^x - e^x) = 2x e^x - 2e^x
].
[
u_1 = x, \quad dv_1 = e^x , dx
]
com
[
du_1 = dx, \quad v_1 = e^x
],
logo
[
\int x e^x , dx = x e^x - \int e^x , dx = x e^x - e^x
]
e assim
[
\int 2x e^x , dx = 2(x e^x - e^x) = 2x e^x - 2e^x
].
Passo 5
Substituindo de volta na integral original, temos
[
\int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
]
e, fatorando ,
[
\int x^2 e^x , dx = ex(x2 - 2x + 2) + C
].
[
\int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
]
e, fatorando
[
\int x^2 e^x , dx = ex(x2 - 2x + 2) + C
].