Calcule as integrais abaixo:
\int 2 x\left(x^{2}-1\right)^{2} \ln \left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2x\,(x^{2}-1)^{2}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é substituição simples (pois aparece 2x\,dx) seguida de integração por partes (para \int u^{2}\ln u\,du).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}-1, \quad du = 2x\,dx.
Com isso, a integral em x vira uma integral em u:
\int 2x\,(x^{2}-1)^{2}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \int u^{2}\,\ln(u)\,du.

Passo 3

Para calcular
\int u^{2}\ln(u)\,du
vamos usar integração por partes. Escolhemos
a = \ln(u) \quad\Longrightarrow\quad da = \frac{1}{u}\,du,
db = u^{2}\,du \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{u^{3}}{3}.

Passo 4

Pela fórmula de partes \int a\,db = a\,b - \int b\,da, temos
\int u^{2}\ln(u)\,du = \frac{u^{3}}{3}\,\ln(u) - \int \frac{u^{3}}{3}\,\frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Dentro da subtração simplificamos:
\int u^{2}\ln(u)\,du = \frac{u^{3}}{3}\ln(u) - \frac{1}{3}\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}\ln(u) - \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{u^{3}}{3}\ln(u) - \frac{u^{3}}{9} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x, lembrando que u = x^{2}-1, obtemos
\int 2x\,(x^{2}-1)^{2}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \frac{(x^{2}-1)^{3}}{3}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr) - \frac{(x^{2}-1)^{3}}{9} + C.

Resposta

\frac{(x^{2}-1)^{3}}{3}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr) - \frac{(x^{2}-1)^{3}}{9} + C.

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