Os pontos A, P e B estão localizados na mesma reta. O ponto P está localizado entre os pontos A e B. As coordenadas dos pontos A e B são (2,-4) e (12,1), respectivamente. Além disso, |A B||A P|=35. Quais são as coordenadas do ponto P ?

Passo 1

O enunciado diz que A, P e B são colineares, com P entre A e B. As coordenadas de
A=(2,-4), B=(12,1)
e a razão de segmentos é dada por
|AB||AP|=35
Para resolver, vamos usar a fórmula do ponto que divide um segmento na razão t, isto é,
P = A + t,(B - A),
onde t = |AP||AB|.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor
AB = B - A = (12-2,;1-(-4)) = (10,5)

Passo 3

Da razão |AB||AP|=35 obtemos
|AP||AB| = 53
Porém, como P fica entre A e B, precisamos de um parâmetro t<1. Provavelmente a intenção era
|AP||AB| = 35
Assim, definimos
t = 35

Passo 4

Aplicando a fórmula da divisão em razão t,
P = A + t,(B - A) = (2,-4) + tfrac35,(10,5)
Isso dá componente a componente:
xP = 2 + tfrac35cdot10 = 2 + 6 = 8,
yP = -4 + tfrac35cdot5 = -4 + 3 = -1

Passo 5

Verificação rápida:
|AB| = raiz10^2 + 5^2 = raiz125, |AP| = raiz6^2 + 3^2 = raiz45,
|AP||AB| = raiz45125 = raiz925 = 35,
conforme queríamos.

Resposta

As coordenadas de P são l(8,-1r).

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