Os pontos A e B estão em margens opostas do trecho retilíneo de um rio cuja lrgura mede 3 km . O ponto C está na mesma margem que B, mas 2 km rio abaixo. Para estender um cabo de A até C, uma companhia telefônica escolhe um ponto P na margem entre os pontos B e C, de modo que o segmento retilíneo do cabo A P encontra-se submerso e a porção P C encontra-se sobre a terra. Se o custo de instalação do cabo sobre a terra é de 300 reais por quilômetro e o custo de instalação do cabo submerso é 25% mais caro, considere x a medida do segmento B P e determine o custo de instalação desse cabo em função de x.

Passo 1

O enunciado envolve posicionar um cabo de A até C de modo que a parte submersa seja de A a P e a parte terrestre seja de P a C. Sabemos que a largura do rio é 3 km, que C está 2 km rio abaixo de B e que P fica entre B e C a uma distância x de B. Vamos modelar geometricamente as distâncias e aplicar os preços: 300 R$/km em terra e 25% a mais na instalação submersa.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas tal que
B=(0,0), C=(2,0), A=(0,3),
onde o eixo x aponta rio abaixo e o eixo y atravessa o rio. Assim P tem coordenadas
P=(x,0), 0<= x<= 2

Passo 3

A distância submersa AP é o comprimento do segmento entre A e P, dado por
AP=raiz(x-0)^2+(0-3)^2=raizx^2+9
A distância terrestre PC é simplesmente a projeção horizontal entre P e C, ou seja
PC=|2-x|=2-x(pois 0<= x<=2)

Passo 4

O custo por quilômetro em terra é de R$/km. O custo submerso é maior, isto é,

Passo 5

O custo total C(x) soma o custo submerso de AP e o custo terrestre de PC:
C(x)=375cdot AP ;+;300cdot PC =375raizx^2+9+300,(2-x)

Resposta

C(x)=375raizx^2+9+300,(2-x), 0<= x<=2

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