( 2,0 pontos). Para se estudar o desempenho dos alunos do curso de Matemática de uma Universidade, selecionou-se uma amostra aleatória de tamanho n das notas das provas de Cálculo (X) e Estatística (Y) no ano de 2023. Os dados de uma amostra de tamanho n=5 das variáveis X e Y estão a seguir:
l x=5.9,6.0,5.2,6.5,6.8 y=6.7,7.2,6.5,8.6,8.0
(a) Considerando que a nota X precisa ser padronizada por uma variável Z do seguinte modo:
Z=X-barxSX, sendo que SX é o desvio padrão amostral da variável X. Calcule as notas padronizadas zi, i=1, cdots, n dos alunos para a prova de Cálculo.
(b) Se alguma das notas zi no item (a) estiver acima de 2 ou abaixo de -2 esse aluno deve ser considerado um caso atípico. Existe algum nessa situação?
(c) Determinar o coeficiente de variação da variável X. Qual é a principal diferença entre o desvio padrão e a variância?
(d) Se você fosse solicitado a apresentar duas medidas (estatísticas) para resumir os dados da variável X, quais você recomendaria?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=5 das notas da prova de Cálculo:
x = 5,9,;6,0,;5,2,;6,5,;6,8
e pede:
  1. padronizar cada valor pela fórmula Z=(X-barx)/SX;
  2. identificar outliers com |zi|>2;
  3. calcular o coeficiente de variação de X e comentar a diferença entre desvio padrão e variância;
  4. indicar duas estatísticas para resumir X.

Passo 2

Calcular a média amostral barx:
barx = 15sumi=1^5 xi = 5,9+6,0+5,2+6,5+6,85 = 30,45 = 6,08

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral SX usando
SX = raiz1n-1sumi=1^n(xi-barx)^2
As somas dos quadrados dos desvios são
(5,9-6,08)^2 + (6,0-6,08)^2 + (5,2-6,08)^2 + (6,5-6,08)^2 + (6,8-6,08)^2 = 1,508
Logo
SX = raiz1,5085-1 = raiz0,377 approx 0,614

Passo 4

Calcular cada zi = (xi-barx)/SX:
z1 &= 5,9 - 6,080,614 approx -0,29, z2 &= 6,0 - 6,080,614 approx -0,13, z3 &= 5,2 - 6,080,614 approx -1,43, z4 &= 6,5 - 6,080,614 approx 0,68, z5 &= 6,8 - 6,080,614 approx 1,17

Passo 5

Verificar outliers: nenhum |zi| ultrapassa 2 (os valores estão entre -1,43 e 1,17). Logo não há caso atípico.

Passo 6

Calcular o coeficiente de variação:
CV = SXbarxtimes100% = 0,6146,08times100% approx 10,1%
A variância é a média dos quadrados dos desvios (unidades ao quadrado), enquanto o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados, o que facilita a interpretação.

Passo 7

Para resumir a variável X eu recomendaria:
  • Uma medida de posição: a média amostral barx.
  • Uma medida de dispersão: o desvio-padrão SX.

Resposta

(a) z1 approx -0,29, z2 approx -0,13, z3 approx -1,43, z4 approx 0,68, z5 approx 1,17
(b) Não, nenhum |zi| ultrapassa 2.
(c) CVapprox10,1%. A variância expressa dispersão em unidades ao quadrado; o desvio-padrão é a raiz da variância e tem as mesmas unidades dos dados.
(d) Média amostral barx e desvio-padrão SX.

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