(3,0 Pontos) Um evaporador é alimentado com uma solução aquosa contendo 9 \% em massa de sólidos. A vazão de alimentação da solução é de 23524 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e sua temperatura é 39^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} produto concentrado deixa o evaporador com concentração de 51 \% em massa e temperatura de 65^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de saturação do vapor produzido no evaporador é 54^{\circ} \mathrm{C}. Vapor saturado a 123^{\circ} \mathrm{C} condensa e sai do evaporador nesta mesma temperatura. Assumindo os calores específicos de todas as soluções iguais a 1,23 \mathrm{kcal} /\left(\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}\right) e \mathrm{U}=3217 \mathrm{kcal} /\left(\mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
a) Calcular o consumo de vapor
b) Calcular a área de troca de calor
c) Calcular a economia

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão de alimentação: F = 23524\\ \mathrm{kg/h}.
  • Concentração em massa de sólidos na alimentação: 9\%.
  • Concentração em massa de sólidos no produto: 51\%.
  • Temperatura da alimentação: T_f = 39^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do produto concentrado: T_p = 65^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura de saturação do vapor produzido no evaporador: T_{sat,evap} = 54^{\circ}\mathrm{C}.
  • Vapor de aquecimento: vapor saturado a 123^{\circ}\mathrm{C} que condensa à mesma temperatura.
  • Calor específico das soluções (aproximado igual para todas): c = 1,23\\ \mathrm{kcal/(kg\,^{\circ}C)}.
  • Coeficiente global de transmissão de calor: U = 3217\\ \mathrm{kcal/(h\,m^{2}\,^{\circ}C)}.
O enunciado pede:
(a) consumo de vapor de aquecimento (kg/h);
(b) área de troca de calor (m²);
(c) economia do evaporador (kg de água evaporada por kg de vapor de aquecimento).
Observação importante (assunção necessária): é preciso usar valores do calor latente de vaporização nos pontos relevantes. Vou usar valores aproximados obtidos de tabelas de vapor saturado (essas são aproximações típicas para exercícios):
  • Calor latente do vapor produzido (a 54°C): \lambda_{54} = 579\\ \mathrm{kcal/kg}.
  • Calor latente do vapor de aquecimento (a 123°C): \lambda_{123} = 503\\ \mathrm{kcal/kg}.
Se forem usados outros valores de tabela, os resultados finais mudam proporcionalmente; deixo isso explícito para você comparar na prova.

Passo 2

Balanço de massa para obter vazões de produto e vapor produzido.
Quantidade de sólidos na alimentação:
\text{Sólidos} = F \cdot 0{,}09 = 23524 \cdot 0{,}09 = 2117{,}16\\ \mathrm{kg/h}.ó
Como os sólidos não se perdem, na vazão do produto P valem:
P \cdot 0{,}51 = 2117{,}16 \quad\Rightarrow\quad P = \frac{2117{,}16}{0{,}51} = 4151{,}2745098\\ \mathrm{kg/h}.
Vazão de vapor produzido (água evaporada):
V = F - P = 23524 - 4151{,}2745098 = 19372{,}7254902\\ \mathrm{kg/h}.
Esses valores são essenciais para o balanço de energia.

Passo 3

Montagem do balanço de energia (princípio): a potência térmica fornecida pelo vapor de aquecimento (quando ele condensa) é usada para:
  • aquecer a alimentação de T_f até a temperatura de ebulição do efeito ( T_{sat,evap});
  • evaporar a massa V de água à temperatura de ebulição;
  • aquecer o produto concentrado de T_{sat,evap} até T_p (se T_p>T_{sat,evap}, como no enunciado).
Escrevendo as parcelas de calor (todas em \mathrm{kcal/h}):
  1. Aquecimento da alimentação de 39^{\circ}\mathrm{C} para 54^{\circ}\mathrm{C}:
Q_1 = F\; c\; (T_{sat,evap}-T_f) = 23524 \cdot 1{,}23 \cdot (54-39).
  1. Calor de vaporização da água evaporada:
Q_2 = V\; \lambda_{54} = 19372{,}7254902 \cdot 579.
  1. Aquecimento do produto de 54^{\circ}\mathrm{C} para 65^{\circ}\mathrm{C}:
Q_3 = P\; c\; (T_p - T_{sat,evap}) = 4151{,}2745098 \cdot 1{,}23 \cdot (65-54).
Calculemos cada parcela (faço as contas passo a passo para você poder repetir sem calculadora pesada):
  • T_{sat,evap}-T_f = 54-39 = 15\\ \!^{\circ}\mathrm{C}.
  • 1{,}23\cdot 15 = 18{,}45.
  • Q_1 = 23524 \cdot 18{,}45 = 434017{,}8\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Q_2 = 19372{,}7254902 \cdot 579 \approx 11\,216\,808{,}06\\ \mathrm{kcal/h}.
(Detalhe: calcule multiplicando por 500 e por 79 e somando, se fizer à mão.)
  • T_p - T_{sat,evap} = 65-54 = 11\\ \!^{\circ}\mathrm{C}.
  • 1{,}23\cdot 11 = 13{,}53.
  • Q_3 = 4151{,}2745098 \cdot 13{,}53 \approx 56\,166{,}74\\ \mathrm{kcal/h}.
Potência total requerida:
Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 \approx 434017{,}8 + 11\,216\,808{,}06 + 56\,166{,}74 = 11\,706\,992{,}60\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 4

Cálculo do consumo de vapor de aquecimento (massa de vapor que condensa por hora).
Energia liberada por 1 kg de vapor a 123^{\circ}\mathrm{C}: \lambda_{123}=503\\ \mathrm{kcal/kg}.
Então a massa de vapor m_s é:
m_s = \frac{Q}{\lambda_{123}} = \frac{11\,706\,992{,}60}{503} \approx 23\,274{,}34\\ \mathrm{kg/h}.
Explanação curta: dividimos a necessidade térmica pela energia que cada kg de vapor libera ao condensar.

Passo 5

Cálculo da área de troca de calor.
Para o processo de condensação/ebulição temos o lado quente praticamente à temperatura constante T_{steam}=123^{\circ}\mathrm{C} (vapor condensando) e o lado frio (solução fervendo/ebulindo) a T_{sat,evap}=54^{\circ}\mathrm{C} durante a vaporização dominante. Por isso a diferença de temperatura efetiva usada aqui é aproximadamente
\Delta T = T_{steam} - T_{sat,evap} = 123 - 54 = 69\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Área requerida (assumindo que a maior parte da transferência ocorre à temperatura de ebulição, o que é o caso típico):
A = \frac{Q}{U\,\Delta T} = \frac{11\,706\,992{,}60}{3217 \cdot 69}.
Calculemos o denominador: 3217\cdot 69 = 221\,973.
Logo
A \approx \frac{11\,706\,992{,}60}{221\,973} \approx 52{,}74\\ \mathrm{m^2}.
Comentário prático: se se usasse LMTD ao considerar sensível + latente em diferentes zonas, o valor ficaria muito próximo; para um exercício assim a aproximação é a usual.

Passo 6

Cálculo da economia do evaporador.
Definição (economia): quantidade de água evaporada por unidade de vapor de aquecimento consumido:
\text{economia} = \frac{V}{m_s} = \frac{19372{,}7254902}{23\,274{,}34} \approx 0{,}8325\\ \mathrm{kg\;evaporada/kg\;vapor}.
Interpretação: como \lambda_{54}>\lambda_{123} (mais energia por kg é necessária para evaporar à temperatura mais baixa do que a que o vapor de aquecimento libera por kg), obtém-se economia menor que 1 aqui. Em processos práticos busca-se economia maior que 1 usando múltiplos efeitos ou recompressão mecânica de vapor.

Resposta

(a) m_s \approx 23\,274{,}34\\ \mathrm{kg/h}
(b) A \approx 52{,}74\\ \mathrm{m^2}
(c) \text{economia} \approx 0{,}8325\\ \mathrm{kg\;evaporada/kg\;vapor}

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