Sejam
subconjuntos de
. Mostre que:
é um subgrupo de
;
Passo 1
O enunciado dá os subconjuntos de
:
-
. -
.
A pergunta que precisamos responder é: mostrar que
é um subgrupo de
.
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada sem abreviações): um subconjunto
é subgrupo de
se:
-
contém o elemento identidade do grupo (que, para o produto complexos, é ); -
é fechado sob o produto: se então ; - para todo
o inverso multiplicativo pertence a .
Vou verificar essas três propriedades para
. Isso é um método direto e básico para provar que um conjunto é subgrupo.
Passo 3
Verificar que o elemento identidade
pertence a
.
Considere
. Então o elemento correspondente em
é
Sabendo os valores trigonométricos padrão
e
, segue que
Portanto
. Assim a identidade do grupo está em
.
Passo 4
Verificar fechamento por produto: produto de dois elementos de
pertence a
.
Tome
. Então existem
tais que
Multiplicando
por
e usando a distributividade e a regra
, obtemos
Agora usamos as fórmulas trigonométricas de soma de ângulos (identidades padrão):
Substituindo nas partes real e imaginária do produto, obtemos
Como
, o número
pertence a
por definição de
. Assim
. Portanto
é fechado sob produto.
(Observação rápida sobre as fórmulas de soma: são identidades trigonométricas clássicas que expressam cosseno e seno da soma de dois ângulos em termos dos cossenos e senos dos ângulos. Podem ser demonstradas geometricamente ou usando a fórmula de Euler
, mas aqui usamos-as como resultados conhecidos.)
Passo 5
Verificar que inversos multiplicativos de elementos de
pertencem a
.
Tome
. Então existe
tal que
Proponha como candidato ao inverso o número
Usando as identidades pares/ímpares do cosseno e seno,
vemos que
Multiplicando
por
:
pois
cancela com
e
. A última igualdade usa a identidade pitagórica
. Logo
e, como
, tem-se
. Portanto todos os inversos multiplicativos de elementos de
estão em
.
Passo 6
Conclusão: já mostramos que
, que
é fechado sob produto e que para todo
o inverso
pertence a
. Pelas condições de subgrupo no grupo
, isso é suficiente para concluir que
é um subgrupo. (Opcional: isto coincide com a descrição clássica do círculo unitário
.)