Sejam A=\{\mathbf{i},-1,-\mathbf{i}, 1\}=\mathrm{e} B=\{\cos (\theta)+\sin (\theta) \mathbf{i} ; \theta \in \mathbb{R}\} subconjuntos de \mathbb{C}^{*}. Mostre que:
B é um subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right);

Passo 1

O enunciado dá os subconjuntos de \mathbb{C}^{*}:
  • A=\{\mathbf{i},-1,-\mathbf{i}, 1\}.
  • B=\{\cos(\theta)+\sin(\theta)\mathbf{i}\;;\;\theta\in\mathbb{R}\}.
A pergunta que precisamos responder é: mostrar que B é um subgrupo de \bigl(\mathbb{C}^{*},\cdot\bigr).

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada sem abreviações): um subconjunto H\subseteq\mathbb{C}^{*} é subgrupo de \bigl(\mathbb{C}^{*},\cdot\bigr) se:
  • H contém o elemento identidade do grupo \mathbb{C}^{*} (que, para o produto complexos, é 1);
  • H é fechado sob o produto: se z,w\in H então z\cdot w\in H;
  • para todo z\in H o inverso multiplicativo z^{-1} pertence a H.
Vou verificar essas três propriedades para B. Isso é um método direto e básico para provar que um conjunto é subgrupo.

Passo 3

Verificar que o elemento identidade 1 pertence a B.
Considere \theta=0. Então o elemento correspondente em B é
\cos(0)+\sin(0)\mathbf{i}.
Sabendo os valores trigonométricos padrão \cos(0)=1 e \sin(0)=0, segue que
\cos(0)+\sin(0)\mathbf{i}=1+0\mathbf{i}=1.
Portanto 1\in B. Assim a identidade do grupo está em B.

Passo 4

Verificar fechamento por produto: produto de dois elementos de B pertence a B.
Tome z_1,z_2\in B. Então existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
z_1=\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\mathbf{i}, \qquad z_2=\cos(\beta)+\sin(\beta)\mathbf{i}.
Multiplicando z_1 por z_2 e usando a distributividade e a regra \mathbf{i}^2=-1, obtemos
\begin{aligned} z_1 z_2 &= \bigl(\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\mathbf{i}\bigr)\bigl(\cos(\beta)+\sin(\beta)\mathbf{i}\bigr) \\\ &= \cos(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\mathbf{i} + \sin(\alpha)\mathbf{i}\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\mathbf{i}^2 \\\ &= \bigl(\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\bigr) + \bigl(\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\bigr)\mathbf{i}. \end{aligned}
Agora usamos as fórmulas trigonométricas de soma de ângulos (identidades padrão):
\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta),
\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta).
Substituindo nas partes real e imaginária do produto, obtemos
z_1 z_2 = \cos(\alpha+\beta) + \sin(\alpha+\beta)\mathbf{i}.
Como \alpha+\beta\in\mathbb{R}, o número \cos(\alpha+\beta)+\sin(\alpha+\beta)\mathbf{i} pertence a B por definição de B. Assim z_1 z_2\in B. Portanto B é fechado sob produto.
(Observação rápida sobre as fórmulas de soma: são identidades trigonométricas clássicas que expressam cosseno e seno da soma de dois ângulos em termos dos cossenos e senos dos ângulos. Podem ser demonstradas geometricamente ou usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta, mas aqui usamos-as como resultados conhecidos.)

Passo 5

Verificar que inversos multiplicativos de elementos de B pertencem a B.
Tome z\in B. Então existe \theta\in\mathbb{R} tal que
z=\cos(\theta)+\sin(\theta)\mathbf{i}.
Proponha como candidato ao inverso o número
w=\cos(-\theta)+\sin(-\theta)\mathbf{i}.
Usando as identidades pares/ímpares do cosseno e seno,
\cos(-\theta)=\cos(\theta), \qquad \sin(-\theta)=-\sin(\theta),
vemos que
w=\cos(\theta)-\sin(\theta)\mathbf{i}.
Multiplicando z por w:
\begin{aligned} z w &= \bigl(\cos(\theta)+\sin(\theta)\mathbf{i}\bigr)\bigl(\cos(\theta)-\sin(\theta)\mathbf{i}\bigr) \\\ &= \cos^2(\theta) - \cos(\theta)\sin(\theta)\mathbf{i} + \sin(\theta)\mathbf{i}\cos(\theta) - \sin^2(\theta)\mathbf{i}^2 \\\ &= \cos^2(\theta)+\sin^2(\theta) \\\ &= 1, \end{aligned}
pois \cos(\theta)\sin(\theta)\mathbf{i} cancela com -\cos(\theta)\sin(\theta)\mathbf{i} e \mathbf{i}^2=-1. A última igualdade usa a identidade pitagórica \cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1. Logo w=z^{-1} e, como -\theta\in\mathbb{R}, tem-se z^{-1}\in B. Portanto todos os inversos multiplicativos de elementos de B estão em B.

Passo 6

Conclusão: já mostramos que 1\in B, que B é fechado sob produto e que para todo z\in B o inverso z^{-1} pertence a B. Pelas condições de subgrupo no grupo \bigl(\mathbb{C}^{*},\cdot\bigr), isso é suficiente para concluir que B é um subgrupo. (Opcional: isto coincide com a descrição clássica do círculo unitário S^1=\{e^{i\theta}\}.)

Resposta

B é um subgrupo de \bigl(\mathbb{C}^{*},\cdot\bigr).

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