Sejam
subconjuntos de
. Mostre que:
é um subgrupo de
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subgrupo de
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O conjunto
tem exatamente os quatro elementos .\n - O grupo ambiente é
, ou seja, o conjunto dos complexos não nulos com a multiplicação usual.\n
A tarefa é provar quesatisfaz as condições que definem um subgrupo (sem pedir nada sobre aqui).
Passo 2
Lembrando a ideia de subgrupo de forma prática (explicada passo a passo): \n
- Um subconjunto
de um grupo é subgrupo quando (uma condição prática e suficiente) para todo vale . Essa é a chamada condição do subgrupo em um passo. Aqui denota o inverso de em .\n
Vou usar uma versão ainda mais concreta que fica muito simples para conjuntos finitos: mostrar que (i)é não vazio (tem identidade), (ii) é fechado para produto (se então ), e (iii) todo elemento de tem inverso em . A associatividade da operação não precisa ser verificada pois é herdada da multiplicação em .
Passo 3
Apresentar
como potências de
.\n
Observe que é a unidade imaginária e que as potências iniciais são\n
Observe que
Portanto podemos escrever
Isto mostra de cara duas coisas úteis:
(identidade) e
é o conjunto das raízes quartenárias da unidade (os complexos
tais que
).
Passo 4
Verificação da identidade e não-vazio.\n
Como vimos, . Então
é não vazio e contém o elemento neutro da multiplicação em
. Isso é obrigatório para ser subgrupo e já está satisfeito.
Como vimos,
Passo 5
Fechamento por multiplicação usando a representação por potências.\n
Sejam com
. Então
Sejam
Como
é um inteiro, podemos reduzir o expoente módulo
(porque
), isto é, existe
tal que
e então
. Portanto o produto de dois elementos de
fica em
:
é fechado para a multiplicação.\n
Exemplos concretos para ficar claro:\n
Exemplos concretos para ficar claro:\n
-
.\n -
.\n -
.
Passo 6
Existência de inversos em
.\n
Para um elemento geral com
, o inverso multiplicativo em
é
. Como trabalhamos com expoentes módulo
,
e
, logo
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.\n
Novamente exemplos explícitos:\n
Para um elemento geral
Novamente exemplos explícitos:\n
- O inverso de
é , pois .\n - O inverso de
é ele próprio, porque .\n - O inverso de
é .
Passo 7
Associatividade e conclusão final.\n
A operação é a multiplicação complexa, que é associativa em ; assim a associatividade vale restrita a
sem necessidade de prova adicional.\n
Já verificamos que contém a identidade, é fechado para a multiplicação e contém inversos de todos os seus elementos. Portanto
satisfaz as condições para ser subgrupo de
.
A operação é a multiplicação complexa, que é associativa em
Já verificamos que