Sejam A=\{\mathbf{i},-1,-\mathbf{i}, 1\}=\mathrm{e} B=\{\cos (\theta)+\sin (\theta) \mathbf{i} ; \theta \in \mathbb{R}\} subconjuntos de \mathbb{C}^{*}. Mostre que:
A é um subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que A=\{\mathbf{i},-1,-\mathbf{i},1\} é um subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).\n
Informações relevantes dadas:
  • O conjunto A tem exatamente os quatro elementos \mathbf{i},-1,-\mathbf{i},1.\n
  • O grupo ambiente é \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right), ou seja, o conjunto dos complexos não nulos com a multiplicação usual.\n
    A tarefa é provar que A satisfaz as condições que definem um subgrupo (sem pedir nada sobre B aqui).

Passo 2

Lembrando a ideia de subgrupo de forma prática (explicada passo a passo): \n
  • Um subconjunto H de um grupo G é subgrupo quando (uma condição prática e suficiente) para todo x,y\in H vale x\cdot y^{-1}\in H. Essa é a chamada condição do subgrupo em um passo. Aqui y^{-1} denota o inverso de y em G.\n
    Vou usar uma versão ainda mais concreta que fica muito simples para conjuntos finitos: mostrar que (i) A é não vazio (tem identidade), (ii) A é fechado para produto (se x,y\in A então x\cdot y\in A), e (iii) todo elemento de A tem inverso em A. A associatividade da operação não precisa ser verificada pois é herdada da multiplicação em \mathbb{C}^{*}.

Passo 3

Apresentar A como potências de \mathbf{i}.\n
Observe que \mathbf{i} é a unidade imaginária e que as potências iniciais são\n
\mathbf{i}^{0}=1,\quad \mathbf{i}^{1}=\mathbf{i},\quad \mathbf{i}^{2}=-1,\quad \mathbf{i}^{3}=-\mathbf{i},\quad \mathbf{i}^{4}=1.
Portanto podemos escrever
A=\{\mathbf{i}^{0},\mathbf{i}^{1},\mathbf{i}^{2},\mathbf{i}^{3}\}.
Isto mostra de cara duas coisas úteis: 1\in A (identidade) e A é o conjunto das raízes quartenárias da unidade (os complexos z tais que z^{4}=1).

Passo 4

Verificação da identidade e não-vazio.\n
Como vimos, \mathbf{i}^{0}=1\in A. Então A é não vazio e contém o elemento neutro da multiplicação em \mathbb{C}^{*}. Isso é obrigatório para ser subgrupo e já está satisfeito.

Passo 5

Fechamento por multiplicação usando a representação por potências.\n
Sejam \mathbf{i}^{m},\mathbf{i}^{n}\in A com m,n\in\{0,1,2,3\}. Então
\mathbf{i}^{m}\cdot\mathbf{i}^{n}=\mathbf{i}^{m+n}.
Como m+n é um inteiro, podemos reduzir o expoente módulo 4 (porque \mathbf{i}^{4}=1), isto é, existe k\in\{0,1,2,3\} tal que m+n\equiv k\pmod{4} e então \mathbf{i}^{m+n}=\mathbf{i}^{k}\in A. Portanto o produto de dois elementos de A fica em A: A é fechado para a multiplicação.\n
Exemplos concretos para ficar claro:\n
  • \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{i}^{2}=-1\in A.\n
  • \mathbf{i}\cdot(-\mathbf{i})=\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}^{3}=\mathbf{i}^{4}=1\in A.\n
  • (-1)\cdot(-\mathbf{i})=\mathbf{i}^{2}\cdot\mathbf{i}^{3}=\mathbf{i}^{5}=\mathbf{i}^{1}=\mathbf{i}\in A.

Passo 6

Existência de inversos em A.\n
Para um elemento geral \mathbf{i}^{k} com k\in\{0,1,2,3\}, o inverso multiplicativo em \mathbb{C}^{*} é \mathbf{i}^{-k}. Como trabalhamos com expoentes módulo 4, \mathbf{i}^{-k}=\mathbf{i}^{4-k} e 4-k\in\{0,1,2,3\}, logo \mathbf{i}^{-k}\in A. Assim todo elemento de A tem inverso em A.\n
Novamente exemplos explícitos:\n
  • O inverso de \mathbf{i} é -\mathbf{i}, pois \mathbf{i}\cdot(-\mathbf{i})=1.\n
  • O inverso de -1 é ele próprio, porque (-1)\cdot(-1)=1.\n
  • O inverso de 1 é 1.

Passo 7

Associatividade e conclusão final.\n
A operação é a multiplicação complexa, que é associativa em \mathbb{C}^{*}; assim a associatividade vale restrita a A sem necessidade de prova adicional.\n
Já verificamos que A contém a identidade, é fechado para a multiplicação e contém inversos de todos os seus elementos. Portanto A satisfaz as condições para ser subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).

Resposta

A é um subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).

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