Q2. (3,0 pontos). No experimento de fenda dupla de Young, as fendas estão separadas por uma distância
e o anteparo de observação está a uma distância
das fendas. A iluminação é feita simultaneamente por duas fontes de luz monocromáticas: uma luz azul com
e uma luz laranja com
. Considere que o máximo central
de ambos os padrões de interferência coincide na posição
.
a) Determine a distância no anteparo entre o máximo central e o primeiro máximo de interferência
para cada um dos comprimentos de onda ( 0,75 pontos).
b) A que distância mínima do máximo central (excluindo a origem) um máximo de interferência da luz azul coincidirá exatamente com um máximo de interferência da luz laranja? ( 0,75 pontos).
c) Determine a ordem de interferência (
e
) para cada cor no ponto de coincidência encontrado no item anterior ( 0,75 pontos).
d) Se colocarmos uma película de plástico transparente com índice de refração
e espessura
sobre uma das fendas, o padrão de interferência se desloca. Explique qualitativamente para qual direção o padrão se desloca e calcule a espessura mínima e necessária para que o máximo central da luz azul (
) se desloque para a posição onde antes estava o seu primeiro máximo
pontos
.
a) Determine a distância no anteparo entre o máximo central e o primeiro máximo de interferência
b) A que distância mínima do máximo central (excluindo a origem) um máximo de interferência da luz azul coincidirá exatamente com um máximo de interferência da luz laranja? ( 0,75 pontos).
c) Determine a ordem de interferência (
d) Se colocarmos uma película de plástico transparente com índice de refração
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem resolver nada ainda).
-
Dados do enunciado:
- Distância entre fendas:
. - Distância do anteparo às fendas:
. - Comprimento de onda da luz azul:
. - Comprimento de onda da luz laranja:
. - O máximo central
de ambos os padrões coincide em .
- Distância entre fendas:
-
O que o enunciado pede:
(a) A distância no anteparo entre o máximo central e o primeiro máximo () para cada comprimento de onda.
(b) A distância mínima do máximo central (excetuando) onde um máximo da luz azul coincide exatamente com um máximo da luz laranja.
(c) Os números de ordem de interferênciae correspondentes ao ponto de coincidência do item (b).
(d) Com uma película de índicee espessura sobre uma das fendas: explicar qualitativamente para que direção o padrão se desloca e calcular a espessura mínima para que o máximo central da luz azul ( ) passe para a posição onde antes estava o seu primeiro máximo ( ).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, sem pular etapas).
- No experimento de fenda dupla, para pequenos ângulos (tela longe,
), a posição do máximo de ordem está aproximada por
Aqui:
-
é o comprimento de onda da luz que forma as franjas. -
é a distância fendas-anteparo. -
é a separação entre as fendas. -
é o número inteiro da ordem do máximo ( ). -
é o espaçamento entre franjas consecutivas (distância entre máximos adjacentes).
Origem dessa fórmula (explicação intuitiva):
- A condição de interferência construtiva entre duas fendas é que a diferença de percurso óptico entre os dois raios seja um múltiplo inteiro de
: . - Geometricamente, para pequenos ângulos
, a diferença de percurso é . - Igualando:
e rearranjando obtemos . Pronto.
Observação sobre unidades:
- Antes de calcular, converter tudo para SI:
em metros, em metros.
Passo 3
Preparar as conversões de unidades e a fórmula aplicada ao primeiro máximo (
).
- Converter
e para metros:
- Fórmula para o primeiro máximo (
):
Passo 4
Calcular a distância do máximo central ao primeiro máximo para a luz azul (
) passo a passo.
- Substituindo na fórmula:
- Faça as contas em etapas:
Passo 5
Calcular a distância do máximo central ao primeiro máximo para a luz laranja (
) passo a passo.
- Substituindo na fórmula:
- Etapas:
Passo 6
Resolver o item (b): encontrar a menor distância (fora do centro) onde um máximo da azul coincide com um máximo da laranja.
- Condição de coincidência de máximos:
Cancelando não nulo: - Portanto a razão entre os inteiros é
- O menor par de inteiros positivos que satisfaz
em termos inteiros simples é (esta é a solução mínima porque está já na forma irredutível).
Passo 7
Calcular a posição
dessa coincidência usando um dos comprimentos de onda (usar a azul ou laranja; o resultado deve coincidir).
- Usando a azul (
): - Verificação rápida com a laranja (
): Concorda, portanto a distância mínima (fora da origem) é .
Passo 8
Responder o item (c): listar explicitamente as ordens de interferência no ponto de coincidência.
- Do Passo 6 já vimos que:
Passo 9
Item (d) — explicação qualitativa do deslocamento do padrão ao colocar uma película de índice
sobre uma fenda, e dedução da fórmula do deslocamento.
- O que faz a película: ao cobrir uma das fendas, a luz que passa por essa fenda tem seu percurso óptico aumentado. Uma espessura
de material com índice adiciona, em relação ao ar, uma diferença de percurso óptico igual a Isso equivale a um atraso de fase (a onda dessa fenda fica “atrasada” em relação à outra). - Efeito sobre as franjas:
- Esse atraso é o mesmo para todas as direções do anteparo, então a condição de máximos passa a ser
onde o sinal depende de como definimos a diferença de percurso; o importante é que a presença do termo desloca os valores de que satisfazem a condição. - Em termos práticos, a mudança corresponde a um deslocamento de
franjas, com Isto é: o padrão se desloca um número de espaçamentos de franja . O deslocamento linear na tela é
- Esse atraso é o mesmo para todas as direções do anteparo, então a condição de máximos passa a ser
- Direção do deslocamento (explicação intuitiva e empática):
- Como a película aumenta o caminho óptico da fenda coberta, a onda dessa fenda fica atrasada. Para compensar esse atraso e restabelecer a interferência construtiva, o ponto de máximo desloca-se para o lado da fenda que tem a película. Em termos simples: o padrão se desloca em direção à fenda coberta pela película.
- (Resumo curto: padrão desloca-se para o lado da fenda coberta.)
Passo 10
Calcular a espessura mínima
para que o máximo central da luz azul (
) vá para a posição onde antes estava o seu primeiro máximo (
).
- Interpretando a exigência: antes da película, o primeiro máximo da azul estava a uma distância
do centro. Queremos que, após colocar a película, o máximo central (ordem no novo padrão) coincida com esse ponto. Ou seja, o padrão deve ter se deslocado de exatamente uma franja para que o ponto que era passe a ser o novo . - Portanto o número de franjas deslocadas deve ser
. Usando a fórmula do passo anterior: Isolando : - Substituir números (
, ):
- Interpretação: uma película muito fina (menos de
) já deslocaria o padrão o suficiente para que o máximo central azul passe para a posição do antigo primeiro máximo azul.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) O padrão desloca-se em direção à fenda coberta pela película.
(b)
(c)
(d) O padrão desloca-se em direção à fenda coberta pela película.