Q2. (3,0 pontos). No experimento de fenda dupla de Young, as fendas estão separadas por uma distância d=0,150 \mathrm{~mm} e o anteparo de observação está a uma distância D=1,40 \mathrm{~m} das fendas. A iluminação é feita simultaneamente por duas fontes de luz monocromáticas: uma luz azul com \lambda_{A}=450 \mathrm{~nm} e uma luz laranja com \lambda_{L}=600 \mathrm{~nm}. Considere que o máximo central (m=0) de ambos os padrões de interferência coincide na posição y=0.
a) Determine a distância no anteparo entre o máximo central e o primeiro máximo de interferência (m=1) para cada um dos comprimentos de onda ( 0,75 pontos).
b) A que distância mínima do máximo central (excluindo a origem) um máximo de interferência da luz azul coincidirá exatamente com um máximo de interferência da luz laranja? ( 0,75 pontos).
c) Determine a ordem de interferência ( m_{A} e m_{L} ) para cada cor no ponto de coincidência encontrado no item anterior ( 0,75 pontos).
d) Se colocarmos uma película de plástico transparente com índice de refração n=1,50 e espessura e sobre uma das fendas, o padrão de interferência se desloca. Explique qualitativamente para qual direção o padrão se desloca e calcule a espessura mínima e necessária para que o máximo central da luz azul ( m_{A}=0 ) se desloque para a posição onde antes estava o seu primeiro máximo \left(m_{A}=1\right)(0,75 pontos ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem resolver nada ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Distância entre fendas: d=0{,}150\\ \mathrm{mm}.
    • Distância do anteparo às fendas: D=1{,}40\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento de onda da luz azul: \lambda_{A}=450\\ \mathrm{nm}.
    • Comprimento de onda da luz laranja: \lambda_{L}=600\\ \mathrm{nm}.
    • O máximo central m=0 de ambos os padrões coincide em y=0.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A distância no anteparo entre o máximo central e o primeiro máximo ( m=1) para cada comprimento de onda.
    (b) A distância mínima do máximo central (excetuando y=0) onde um máximo da luz azul coincide exatamente com um máximo da luz laranja.
    (c) Os números de ordem de interferência m_{A} e m_{L} correspondentes ao ponto de coincidência do item (b).
    (d) Com uma película de índice n=1{,}50 e espessura e sobre uma das fendas: explicar qualitativamente para que direção o padrão se desloca e calcular a espessura mínima para que o máximo central da luz azul ( m_{A}=0) passe para a posição onde antes estava o seu primeiro máximo ( m_{A}=1).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, sem pular etapas).
  • No experimento de fenda dupla, para pequenos ângulos (tela longe, D\gg d), a posição y do máximo de ordem m está aproximada por
y_m = m\,\beta,\qquad \text{onde}\quad \beta=\frac{\lambda D}{d}.
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda da luz que forma as franjas.
  • D é a distância fendas-anteparo.
  • d é a separação entre as fendas.
  • m é o número inteiro da ordem do máximo ( m=0,\pm1,\pm2,\dots).
  • \beta é o espaçamento entre franjas consecutivas (distância entre máximos adjacentes).
Origem dessa fórmula (explicação intuitiva):
  • A condição de interferência construtiva entre duas fendas é que a diferença de percurso óptico entre os dois raios seja um múltiplo inteiro de \lambda: \Delta = m\lambda.
  • Geometricamente, para pequenos ângulos \theta, a diferença de percurso é \Delta \approx d\sin\theta \approx d\tan\theta \approx d\frac{y}{D}.
  • Igualando: d\frac{y}{D}=m\lambda e rearranjando obtemos y=m\frac{\lambda D}{d}. Pronto.
Observação sobre unidades:
  • Antes de calcular, converter tudo para SI: d em metros, \lambda em metros.

Passo 3

Preparar as conversões de unidades e a fórmula aplicada ao primeiro máximo ( m=1).
  • Converter d e \lambda para metros: d=0{,}150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
\lambda_A=450\\ \mathrm{nm}=450\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
\lambda_L=600\\ \mathrm{nm}=600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=6{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula para o primeiro máximo ( m=1): y_{1}=\frac{\lambda D}{d}.

Passo 4

Calcular a distância do máximo central ao primeiro máximo para a luz azul ( \lambda_A) passo a passo.
  • Substituindo na fórmula: y_{A,1}=\frac{\lambda_A D}{d}=\frac{4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\times 1{,}40\\ \mathrm{m}}{1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}}.
  • Faça as contas em etapas: \frac{4{,}50\times10^{-7}\times 1{,}40}{1{,}50\times10^{-4}}= \frac{4{,}50\times1{,}40}{1{,}50}\times10^{-7-(-4)}= \frac{6{,}30}{1{,}50}\times10^{-3}.
\frac{6{,}30}{1{,}50}=4{,}20,
y_{A,1}=4{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}20\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular a distância do máximo central ao primeiro máximo para a luz laranja ( \lambda_L) passo a passo.
  • Substituindo na fórmula: y_{L,1}=\frac{\lambda_L D}{d}=\frac{6{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\times 1{,}40\\ \mathrm{m}}{1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}}.
  • Etapas: \frac{6{,}00\times10^{-7}\times1{,}40}{1{,}50\times10^{-4}}= \frac{6{,}00\times1{,}40}{1{,}50}\times10^{-3}= \frac{8{,}40}{1{,}50}\times10^{-3}.
\frac{8{,}40}{1{,}50}=5{,}60,
y_{L,1}=5{,}60\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5{,}60\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Resolver o item (b): encontrar a menor distância (fora do centro) onde um máximo da azul coincide com um máximo da laranja.
  • Condição de coincidência de máximos: y = m_A\frac{\lambda_A D}{d} = m_L\frac{\lambda_L D}{d}.Cancelando \frac{D}{d} não nulo: m_A\lambda_A = m_L\lambda_L.
  • Portanto a razão entre os inteiros é \frac{m_A}{m_L}=\frac{\lambda_L}{\lambda_A}=\frac{6{,}00\times10^{-7}}{4{,}50\times10^{-7}}=\frac{600}{450}=\frac{4}{3}.
  • O menor par de inteiros positivos que satisfaz \dfrac{m_A}{m_L}=\dfrac{4}{3} em termos inteiros simples é m_A=4,\qquad m_L=3.(esta é a solução mínima porque 4/3 está já na forma irredutível).

Passo 7

Calcular a posição y dessa coincidência usando um dos comprimentos de onda (usar a azul ou laranja; o resultado deve coincidir).
  • Usando a azul ( m_A=4): y = m_A\frac{\lambda_A D}{d}=4\cdot y_{A,1}=4\cdot 4{,}20\\ \mathrm{mm}=16{,}8\\ \mathrm{mm}.
  • Verificação rápida com a laranja ( m_L=3): y = 3\cdot y_{L,1}=3\cdot 5{,}60\\ \mathrm{mm}=16{,}8\\ \mathrm{mm}.Concorda, portanto a distância mínima (fora da origem) é 16{,}8\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Responder o item (c): listar explicitamente as ordens de interferência no ponto de coincidência.
  • Do Passo 6 já vimos que: m_A=4,\qquad m_L=3.

Passo 9

Item (d) — explicação qualitativa do deslocamento do padrão ao colocar uma película de índice n sobre uma fenda, e dedução da fórmula do deslocamento.
  • O que faz a película: ao cobrir uma das fendas, a luz que passa por essa fenda tem seu percurso óptico aumentado. Uma espessura e de material com índice n adiciona, em relação ao ar, uma diferença de percurso óptico igual a \Delta_{\text{opt}}=(n-1)e.Isso equivale a um atraso de fase (a onda dessa fenda fica “atrasada” em relação à outra).
  • Efeito sobre as franjas:
    • Esse atraso é o mesmo para todas as direções do anteparo, então a condição de máximos passa a ser d\frac{y}{D} + (n-1)e = m\lambda,onde o sinal depende de como definimos a diferença de percurso; o importante é que a presença do termo (n-1)e desloca os valores de y que satisfazem a condição.
    • Em termos práticos, a mudança corresponde a um deslocamento de s franjas, com s=\frac{\Delta_{\text{opt}}}{\lambda}=\frac{(n-1)e}{\lambda}.Isto é: o padrão se desloca um número s de espaçamentos de franja \beta=\lambda D/d. O deslocamento linear na tela é \Delta y = s\,\beta = \frac{(n-1)e}{\lambda}\cdot\frac{\lambda D}{d}=\frac{(n-1)e D}{d}.
  • Direção do deslocamento (explicação intuitiva e empática):
    • Como a película aumenta o caminho óptico da fenda coberta, a onda dessa fenda fica atrasada. Para compensar esse atraso e restabelecer a interferência construtiva, o ponto de máximo desloca-se para o lado da fenda que tem a película. Em termos simples: o padrão se desloca em direção à fenda coberta pela película.
    • (Resumo curto: padrão desloca-se para o lado da fenda coberta.)

Passo 10

Calcular a espessura mínima e para que o máximo central da luz azul ( m_A=0) vá para a posição onde antes estava o seu primeiro máximo ( m_A=1).
  • Interpretando a exigência: antes da película, o primeiro máximo da azul estava a uma distância y_{A,1}=\beta_A do centro. Queremos que, após colocar a película, o máximo central (ordem 0 no novo padrão) coincida com esse ponto. Ou seja, o padrão deve ter se deslocado de exatamente uma franja para que o ponto que era m=1 passe a ser o novo m'=0.
  • Portanto o número de franjas deslocadas deve ser s=1. Usando a fórmula do passo anterior: s=\frac{(n-1)e}{\lambda_A}=1.Isolando e: e=\frac{\lambda_A}{n-1}.
  • Substituir números ( n=1{,}50, \lambda_A=4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}): e=\frac{4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}{1{,}50-1{,}00}=\frac{4{,}50\times10^{-7}}{0{,}50}=9{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
e=9{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=0{,}900\\ \mu\mathrm{m}.
  • Interpretação: uma película muito fina (menos de 1\\ \mu\mathrm{m}) já deslocaria o padrão o suficiente para que o máximo central azul passe para a posição do antigo primeiro máximo azul.

Resposta

(a) y_{A,1}=4{,}20\\ \mathrm{mm},\; y_{L,1}=5{,}60\\ \mathrm{mm}
(b) y_{\text{coinc}}=16{,}8\\ \mathrm{mm}
(c) m_{A}=4,\; m_{L}=3
(d) O padrão desloca-se em direção à fenda coberta pela película. e_{\min}=\dfrac{\lambda_A}{n-1}=9{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=0{,}900\\ \mu\mathrm{m}

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