( 2,0 pontos) Explique, numa análise por feita por elementos finitos, quais são as consequências de se impor poucas condições de contorno ou de impor condições de contorno excessivas.

Passo 1

O enunciado pede para a gente explicar, no contexto de uma análise por elementos finitos, o que acontece se colocarmos de menos condições de contorno (under-constrained) ou de mais condições de contorno (over-constrained). O conteúdo aqui envolve compreender como as condições de contorno afetam a matriz de rigidez \mathbf{K} e o sistema
\mathbf{K}\,\mathbf{u} = \mathbf{f},
além de como a configuração de restrições define se o problema é bem-posto ou não.

Passo 2

Quando impomos poucas condições de contorno, o sistema fica under-constrained. Na prática isso significa que há modos de corpo rígido não eliminados, ou seja, o modelo pode se mover (traduzir ou rotacionar) sem resistência elástica. Consequências principais:
\bullet A matriz de rigidez \mathbf{K} torna-se singular (ou de posto deficiente), pois não é possível inversão ou fatoração sem pivotamentos problemáticos.
\bullet O solucionador numérico vai reclamar de indefinição ou retornar deslocamentos arbitrariamente grandes (infinito ou “NaN”).
\bullet Não há solução única: qualquer combinação de deslocamentos que inclua os modos de corpo rígido satisfaz a equação, logo você não obtém resultados físicos nem reações de apoio.

Passo 3

Quando impomos condições de contorno em excesso, geramos um sistema over-constrained. Isso pode ocorrer por restrições redundantes ou contraditórias. Os efeitos típicos são:
\bullet O sistema pode ficar estaticamente indeterminado, levando a uma matriz \mathbf{K} muito mal condicionada. Em casos extremos, se duas restrições forem mutuamente incompatíveis, \mathbf{K} pode até se tornar singular.
\bullet Aparecimento de tensões artificiais ou concentrações de tensão em torno dos nós sobrecarregados de restrição (stress locking). Essas tensões não refletem a resposta real da estrutura.
\bullet Erros numéricos aumentados por causa do elevado número de condições de contorno, fazendo com que o método iterativo convirja mal (alta condição numérica) ou gire em falso.
\bullet Reações de apoio erradas: como a rigidez fica superestimada, você acaba calculando forças de reação que não existem de verdade.

Resposta

Impor poucas condições de contorno leva a modos de corpo rígido, matriz de rigidez singular e solução indefinida. Impor condições em excesso causa super-rigidez, tensões artificiais, mal condicionamento numérico e, em casos de restrições conflitantes, também pode gerar singularidade em \mathbf{K}.

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