Questão 3 ( 20 \% ) - Baseado nos seus conhecimentos sobre elementos retos constituintes de treliças, estruturas e máquinas, responda as seguintes questões,
Quais as relações matemáticas entre carregamento distribuído, força cortante e momento fletor? Explique a sua resposta em termos de cálculo diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar o carregamento distribuído w(x), a força cortante V(x) e o momento fletor M(x) em um elemento reto de viga, usando argumentos de cálculo diferencial. Vamos considerar um trecho de viga de comprimento infinitesimal \mathrm{d}x submetido a uma distribuição de carga w(x) (força por unidade de comprimento), à força cortante V(x) e ao momento fletor M(x).

Passo 2

Aplicamos o equilíbrio de forças verticais no trecho entre x e x+\mathrm{d}x. As forças que atuam são:
\bullet A força cortante V(x) em x, apontando para cima.
\bullet A força cortante V(x+\mathrm{d}x) em x+\mathrm{d}x, apontando para baixo.
\bullet A carga distribuída w(x)\,\mathrm{d}x, apontando para baixo.
Pela soma das forças igual a zero, temos
V(x) - V(x+\mathrm{d}x) - w(x)\,\mathrm{d}x = 0.
Expandindo V(x+\mathrm{d}x)\approx V(x)+V'(x)\,\mathrm{d}x e dividindo por \mathrm{d}x, obtém-se
\frac{V(x+\mathrm{d}x)-V(x)}{\mathrm{d}x} = -\,w(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -\,w(x).

Passo 3

Agora fazemos o equilíbrio de momentos em torno do ponto x. As contribuições de momento no trecho x a x+\mathrm{d}x são:
\bullet O momento fletor M(x) em x, positivo no sentido antirrelógio.
\bullet O momento fletor M(x+\mathrm{d}x) em x+\mathrm{d}x, negativo no mesmo sentido.
\bullet O braço de alavanca da força cortante V(x)\,\mathrm{d}x.
Somando momentos nulos:
M(x) - M(x+\mathrm{d}x) + V(x)\,\mathrm{d}x = 0.
Substituindo M(x+\mathrm{d}x)\approx M(x)+M'(x)\,\mathrm{d}x e dividindo por \mathrm{d}x, vem
\frac{M(x+\mathrm{d}x)-M(x)}{\mathrm{d}x} = V(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x).

Passo 4

Como consequência, derivando novamente a relação do momento fletor, temos
\frac{\mathrm{d}^2M}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}\Bigr) = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -\,w(x).

Resposta

As relações matemáticas, em termos de cálculo diferencial, são:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -\,w(x), \qquad \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x),
e, em consequência,
\frac{\mathrm{d}^2M}{\mathrm{d}x^2} = -\,w(x).

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