Questão 3 (
) - Baseado nos seus conhecimentos sobre elementos retos constituintes de treliças, estruturas e máquinas, responda as seguintes questões,
Quais as relações matemáticas entre carregamento distribuído, força cortante e momento fletor? Explique a sua resposta em termos de cálculo diferencial.
Quais as relações matemáticas entre carregamento distribuído, força cortante e momento fletor? Explique a sua resposta em termos de cálculo diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar o carregamento distribuído
, a força cortante
e o momento fletor
em um elemento reto de viga, usando argumentos de cálculo diferencial. Vamos considerar um trecho de viga de comprimento infinitesimal
submetido a uma distribuição de carga
(força por unidade de comprimento), à força cortante
e ao momento fletor
.
Passo 2
Aplicamos o equilíbrio de forças verticais no trecho entre
e
. As forças que atuam são:
A força cortante
em
, apontando para cima.
A força cortante
em
, apontando para baixo.
A carga distribuída
, apontando para baixo.
Pela soma das forças igual a zero, temos
Pela soma das forças igual a zero, temos
Expandindo
e dividindo por
, obtém-se
Passo 3
Agora fazemos o equilíbrio de momentos em torno do ponto
. As contribuições de momento no trecho
a
são:
O momento fletor
em
, positivo no sentido antirrelógio.
O momento fletor
em
, negativo no mesmo sentido.
O braço de alavanca da força cortante
.
Somando momentos nulos:
Somando momentos nulos:
Substituindo
e dividindo por
, vem
Passo 4
Como consequência, derivando novamente a relação do momento fletor, temos
Resposta
As relações matemáticas, em termos de cálculo diferencial, são:
e, em consequência,