(2,0 pontos) Explique a ideia geométrica do método de Newton. Mostre a fórmula do algori isto é, obter x_{n+1} em termos de x_{n} para uma função f.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a ideia geométrica do método de Newton para encontrar uma raiz de uma função f e, em seguida, deduzir a fórmula iterativa que dá x_{n+1} em termos de x_{n}. Vamos usar a noção de reta tangente e aproximação linear de f.

Passo 2

A ideia geométrica é a seguinte: suponha que você tenha uma aproximação atual x_{n} para a raiz de f(x)=0. Em vez de tentar resolver f(x)=0 diretamente, você aproxima f pela reta tangente ao seu gráfico em x_{n}. Essa reta tangente intercepta o eixo x em um ponto que costuma ser uma aproximação melhor da raiz. Repetindo esse procedimento, as aproximações costumam convergir rapidamente para a raiz exata.

Passo 3

Para derivar a fórmula, escrevemos a aproximação linear de f em torno de x_{n}:
f(x)\approx f(x_{n}) + f'(x_{n})\,(x - x_{n}).
Queremos o ponto onde essa reta corta o eixo x, isto é, o valor x=x_{n+1} tal que f(x_{n+1})\approx 0. Portanto, impondo
0 = f(x_{n}) + f'(x_{n})\,(x_{n+1}-x_{n}),
e resolvendo para x_{n+1}, obtemos
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Resposta

x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

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