(2,0 pontos) Explique a ideia geométrica do método de Newton. Mostre a fórmula do algori isto é, obter
em termos de
para uma função
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever a ideia geométrica do método de Newton para encontrar uma raiz de uma função
e, em seguida, deduzir a fórmula iterativa que dá
em termos de
. Vamos usar a noção de reta tangente e aproximação linear de
.
Passo 2
A ideia geométrica é a seguinte: suponha que você tenha uma aproximação atual
para a raiz de
. Em vez de tentar resolver
diretamente, você aproxima
pela reta tangente ao seu gráfico em
. Essa reta tangente intercepta o eixo
em um ponto que costuma ser uma aproximação melhor da raiz. Repetindo esse procedimento, as aproximações costumam convergir rapidamente para a raiz exata.
Passo 3
Para derivar a fórmula, escrevemos a aproximação linear de
em torno de
:
Queremos o ponto onde essa reta corta o eixo
, isto é, o valor
tal que
. Portanto, impondo
e resolvendo para
, obtemos