(2,0 pontos) Encontre um valor aproximado para \sqrt[4]{16,41} usando a linearização.
Dica: Use a função f(x)=\sqrt[4]{x^{2}+12}. Além disso perceba que 4,41=(2,1)^{2} e 2,1 \approx 2.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt[4]{16,41} usando linearização. A dica sugere considerar a função
f(x)=\sqrt[4]{x^{2}+12}=(x^{2}+12)^{1/4},
pois, notamos que (2{,}1)^{2}=4{,}41 e assim
f(2{,}1)=\sqrt[4]{(2{,}1)^{2}+12}=\sqrt[4]{16{,}41}.
Como 2{,}1\approx2, vamos linearizar f em torno de a=2.

Passo 2

Para montar a linearização, precisamos de f'(x). Usando a regra da cadeia:
f(x)=(x^{2}+12)^{1/4} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{4}(x^{2}+12)^{-3/4}\cdot2x =\frac{x}{2\,(x^{2}+12)^{3/4}}.

Passo 3

Avaliamo-os em x=2:
f(2)=(2^{2}+12)^{1/4}=(16)^{1/4}=2,
f'(2)=\frac{2}{2\,(16)^{3/4}} =\frac{2}{2\cdot(16^{1/4})^{3}} =\frac{2}{2\cdot2^{3}} =\frac{2}{16} =\frac{1}{8}=0{,}125.

Passo 4

A linearização de f em a=2 é
L(x)=f(2)+f'(2)\,(x-2) =2+0{,}125\,(x-2).
Para x=2{,}1 temos \Delta x=0{,}1, então
L(2{,}1)=2+0{,}125\cdot0{,}1 =2+0{,}0125 =2{,}0125.

Resposta

\sqrt[4]{16{,}41}\approx2{,}0125.

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