Para a função g(x)=\sqrt[4]{16-x^{2}}, encontre o que se pede:
(a) ( 1,0 ponto) Os pontos críticos e os intervalos de monotonicidade.
(b) (1,0 ponto) Os extremos absolutos no intervalos [-4,4].

Passo 1

O enunciado dá a função
\displaystyle g(x)=\sqrt[4]{16 - x^{2}}=(16 - x^{2})^{1/4}
definida no intervalo [-4,4]. O objetivo é usar derivadas para (a) identificar pontos críticos e intervalos de monotonicidade e (b) achar os máximos e mínimos absolutos em [-4,4].

Passo 2

Primeiro notamos que o domínio natural de g é -4\le x\le4 pois precisamos de 16 - x^{2}\ge0. Calculamos a derivada usando regra da cadeia:
g'(x) =\frac{d}{dx}(16 - x^{2})^{1/4} =\frac{1}{4}(16 - x^{2})^{-3/4}\cdot(-2x) =-\frac{x}{2\,(16 - x^{2})^{3/4}}.

Passo 3

Pontos críticos são onde g'(x)=0 ou g' não existe (no interior do domínio).
  1. g'(x)=0 implica -x=0, logo x=0.
  2. g'(x) não existe onde 16 - x^{2}=0, isto é, em x=\pm4, mas estes são os extremos do domínio.

Passo 4

Para ver monotonicidade, analisamos o sinal de
g'(x)=-\frac{x}{2\,(16 - x^{2})^{3/4}}.
Como o denominador é sempre positivo em (-4,4), o sinal de g'(x) é oposto ao de x:
  • Em -4<x<0, temos x<0 -x>0 g'(x)>0. Logo g é crescente em (-4,0).
  • Em 0<x<4, temos x>0 -x<0 g'(x)<0. Logo g é decrescente em (0,4).

Passo 5

Para os extremos absolutos em [-4,4] comparamos valores em x=-4, x=0 e x=4:
g(-4)=\sqrt[4]{16 - (-4)^{2}}=\sqrt[4]{0}=0,\quad g(0)=\sqrt[4]{16}=2,\quad g(4)=\sqrt[4]{16 - 16}=0.
O maior valor é 2 em x=0; os menores são 0 em x=-4 e x=4.

Resposta

(a) Pontos críticos no interior: x=0 (mais \pm4 como limites do domínio).
Monotonicidade:
g cresce em (-4,0)
g decresce em (0,4)
(b) Extremo absoluto máximo: g(0)=2.
Extremos absolutos mínimos: g(-4)=0 e g(4)=0.

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