Para a função
, encontre o que se pede:
(a) ( 1,0 ponto) Os pontos críticos e os intervalos de monotonicidade.
(b) (1,0 ponto) Os extremos absolutos no intervalos
.
(a) ( 1,0 ponto) Os pontos críticos e os intervalos de monotonicidade.
(b) (1,0 ponto) Os extremos absolutos no intervalos
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
. O objetivo é usar derivadas para (a) identificar pontos críticos e intervalos de monotonicidade e (b) achar os máximos e mínimos absolutos em
.
Passo 2
Primeiro notamos que o domínio natural de
é
pois precisamos de
. Calculamos a derivada usando regra da cadeia:
Passo 3
Pontos críticos são onde
ou
não existe (no interior do domínio).
-
implica , logo . -
não existe onde , isto é, em , mas estes são os extremos do domínio.
Passo 4
Para ver monotonicidade, analisamos o sinal de
Como o denominador é sempre positivo em
, o sinal de
é oposto ao de
:
- Em
, temos ⇒ ⇒ . Logo é crescente em . - Em
, temos ⇒ ⇒ . Logo é decrescente em .
Passo 5
Para os extremos absolutos em
comparamos valores em
,
e
:
O maior valor é
em
; os menores são
em
e
.
Resposta
(a) Pontos críticos no interior:
(mais
como limites do domínio).
Monotonicidade:
– cresce em
– decresce em
Monotonicidade:
–
–
(b) Extremo absoluto máximo:
.
Extremos absolutos mínimos: e
.
Extremos absolutos mínimos: