Se \vec{u}=(0,-1,-3), \vec{v}=(1,2,-1), \vec{w}=(-1,0,1), determinar:
\vec{u} \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto escalar. As informações fornecidas são:
\vec{u}=(0,-1,-3), \vec{v}=(1,2,-1) e \vec{w}=(-1,0,1).
A pergunta específica que vamos responder é: calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3. Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Explicando cada parte: a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor \vec{a} nas direções x,y,z respectivamente, e b_1,b_2,b_3 são as componentes de \vec{b}. O produto escalar é a soma dos produtos termo a termo das componentes correspondentes.

Passo 3

Aplicamos a fórmula acima a \vec{u} e \vec{v}. Aqui u_1=0, u_2=-1, u_3=-3 e v_1=1, v_2=2, v_3=-1. Então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 4

Agora calculamos cada produto:
u_1v_1=0\cdot 1=0,
u_2v_2=(-1)\cdot 2=-2,
u_3v_3=(-3)\cdot(-1)=3.
Somando esses resultados:
0+(-2)+3=1.

Passo 5

Comentário didático e motivador: o produto escalar resultado 1 indica que os vetores não são ortogonais (se fossem, o produto seria 0). Se quiser, na prova você pode usar sempre esse procedimento direto — multiplicar componente a componente e somar — é rápido e seguro.

Resposta

1

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