(4 pontos) Considere a função f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-2 x}.
a) Encontre o domínio de f, os pontos de intersecção com os eixos coordenados e as assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
b) Indique os intervalos de crescimento, decaimento, os pontos críticos e os extremos relativos de f, caso existam;
c) Estude a concavidade da função f e determine os pontos de inflexão, caso existam;
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-2x}
incluindo domínio, interseções com eixos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso vamos precisar usar fatoração, limites, derivadas primeira e segunda e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, identificamos os valores que anulam o denominador:
x^{2}-2x = x(x-2)=0 \implies x=0\text{ ou }x=2,
logo o domínio é
\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0,2\}.
Fatorando o numerador temos x^{2}-4=(x-2)(x+2), de modo que, para x\neq0,2,
f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}=\frac{x+2}{x}.
Interseções com eixos: \bullet Eixo x: f(x)=0\iff x+2=0\iff x=-2, vale e está no domínio. \bullet Eixo y: x=0 não está no domínio, não há intercepto em y.
Assíntotas: \bullet Vertical em x=0, pois o comportamento de \tfrac{x+2}{x} explode. \bullet Não há assíntota vertical em x=2, mas sim um ponto de descontinuidade removível (buraco) em (2,2). \bullet Horizontal em y=1, porque
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)=1.

Passo 3

Derivamos a forma simplificada f(x)=(x+2)/x:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1}(x+2)\Bigr) =-\frac{2}{x^{2}}.
Como f'(x)=-2/x^{2}<0 para todo x\neq0, a função é sempre decrescente em cada intervalo de \mathbb{D}. Não há pontos críticos onde f'(x)=0, nem extremos relativos (os únicos pontos que anulam o denominador já foram excluídos do domínio).

Passo 4

Derivando de novo,
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(-2x^{-2}\Bigr)=4x^{-3}=\frac{4}{x^{3}}.
Para x<0 temos x^{3}<0\implies f''(x)<0, concavidade voltada para baixo; para x>0 temos x^{3}>0\implies f''(x)>0, concavidade para cima. Como a função não é contínua em x=0 nem em x=2, não existe ponto de inflexão no domínio.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, observamos:
— Assíntota vertical em x=0. Ao aproximar-se de 0^-, f(x)\to-\infty; de 0^+, f(x)\to+\infty.
— Assíntota horizontal em y=1.
— Buraco em (2,2).
— Ponto (-2,0).
— Função sempre decrescente; concava para baixo em (-\infty,0) e para cima em (0,2) e (2,\infty).
O esboço consiste em dois ramos separados pelo assíntota x=0, aproximando-se de y=1 para x\to\pm\infty, com buraco em (2,2) e passando por (-2,0).

Resposta

(a) Domínio \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0,2\}. Interseção com eixo x em (-2,0). Sem interseção com eixo y. Assíntota vertical x=0. Buraco em (2,2). Assíntota horizontal y=1.
(b) f'(x)=-2/x^{2}<0 em todo \mathbb{D}, logo f é decrescente em cada intervalo de \mathbb{D}, sem extremos relativos.
(c) f''(x)=4/x^{3}: concavidade para baixo em (-\infty,0) e para cima em (0,2) e (2,\infty). Não há pontos de inflexão no domínio.
(d) Gráfico: dois ramos decrescentes em (-\infty,0) e (0,\infty), assíntota vertical x=0, horizontal y=1, buraco em (2,2) e ponto (-2,0).

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