(8 pontos) Seja (X, Y) uma variável aleatória contínua bidimensional, cuja função densidade de probabilidade conjunta é dada por,
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} 4 x y & , \quad 0 \leq x \leq 1 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \quad \text { para outros valores } x, y \end{aligned}\right.
Pede-se: Calcule \operatorname{COV}(X, Y), a covariância entre X e Y.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade conjunta de [(X,Y)) e pede a covariância \operatorname{COV}(X,Y).
Informações fornecidas:
f(x,y)=\begin{cases} 4xy, & 0\le x\le 1 \text{ e } 0\le y\le 1,\\[4pt] 0, & \text{para outros }x,y. \end{cases}
O que é pedido:
Calcular \operatorname{COV}(X,Y)\], a covariância entre \(X e Y.]

Passo 2

Definição e estratégia: a covariância entre duas variáveis aleatórias contínuas X e Y é definida por
\operatorname{COV}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
Aqui \mathbb{E}[X] é o valor esperado (média) de X, \mathbb{E}[Y] é a média de Y e \mathbb{E}[XY] é a esperança do produto. Para variáveis contínuas usamos integrais: por exemplo, para \mathbb{E}[X] usamos a densidade marginal f_X(x) e escrevemos \mathbb{E}[X]=\int x f_X(x)\,dx. Portanto precisamos calcular \mathbb{E}[X], \mathbb{E}[Y] e \mathbb{E}[XY].

Passo 3

Vamos obter as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y). A densidade marginal de X é integração da densa conjunta em y:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy=\int_{0}^{1} 4xy\,dy,
pois fora do retângulo [0,1]\times[0,1] a densidade é zero. Calculando a integral:
f_X(x)=4x\int_{0}^{1} y\,dy=4x\cdot\frac{1}{2}=2x,\qquad 0\le x\le 1.
Analogamente, a densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\int_{0}^{1} 4xy\,dx=4y\int_{0}^{1} x\,dx=4y\cdot\frac{1}{2}=2y,\qquad 0\le y\le 1.

Passo 4

Observação importante (útil na prova): compare a densidade conjunta com o produto das marginais. Temos
f_X(x)f_Y(y)=(2x)(2y)=4xy=f(x,y)
para 0\le x,y\le 1. Isso mostra que X e Y são independentes (pois a conjunta fatora nas marginais). Um corolário útil: se X e Y são independentes então \operatorname{COV}(X,Y)=0. Vou, no entanto, calcular explicitamente \mathbb{E}[X], \mathbb{E}[Y] e \mathbb{E}[XY] para mostrar o procedimento completo.

Passo 5

Calcular \mathbb{E}[X] usando f_X(x):
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx=\int_{0}^{1} x\cdot 2x \,dx=2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Agora a integral:
2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Logo \mathbb{E}[X]=\frac{2}{3}. Por simetria (ou cálculo idêntico) obtemos
\mathbb{E}[Y]=\frac{2}{3}.

Passo 6

Calcular \mathbb{E}[XY] diretamente pela densidade conjunta:
\mathbb{E}[XY]=\iint_{\mathbb{R}^{2}} xy\,f(x,y)\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} xy\cdot 4xy\,dy\,dx.
Simplificando o integrando:
\mathbb{E}[XY]=4\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x^{2}y^{2}\,dy\,dx.
Como as integrais separam:
\mathbb{E}[XY]=4\left(\int_{0}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y^{2}\,dy\right)=4\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}.

Passo 7

Agora colocamos tudo na fórmula da covariância:
\operatorname{COV}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]=\frac{4}{9}-\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right).
Calcule o produto das médias:
\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}.
Portanto
\operatorname{COV}(X,Y)=\frac{4}{9}-\frac{4}{9}=0.

Resposta

0

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