(8 pontos) Seja (X, Y) uma variável aleatória contínua bidimensional, cuja função densidade de probabilidade conjunta é dada por,
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} 4 x y & , \quad 0 \leq x \leq 1 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0 & , \quad \text { para outros valores } x, y \end{aligned}\right.
Pede-se: Calcule \operatorname{COV}(X, Y), a covariância entre X e Y.
Passo 1
O enunciado dá a função densidade conjunta de [(X,Y)) e pede a covariância \operatorname{COV}(X,Y).
Informações fornecidas:
f(x,y)=\begin{cases} 4xy, & 0\le x\le 1 \text{ e } 0\le y\le 1,\\[4pt] 0, & \text{para outros }x,y. \end{cases}
O que é pedido:
Calcular \operatorname{COV}(X,Y)\], a covariância entre \(X e Y.]
Passo 2
Definição e estratégia: a covariância entre duas variáveis aleatórias contínuas X e Y é definida por
Aqui \mathbb{E}[X] é o valor esperado (média) de X, \mathbb{E}[Y] é a média de Y e \mathbb{E}[XY] é a esperança do produto. Para variáveis contínuas usamos integrais: por exemplo, para \mathbb{E}[X] usamos a densidade marginal f_X(x) e escrevemos \mathbb{E}[X]=\int x f_X(x)\,dx. Portanto precisamos calcular \mathbb{E}[X], \mathbb{E}[Y] e \mathbb{E}[XY].
Passo 3
Vamos obter as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y). A densidade marginal de X é integração da densa conjunta em y:
Observação importante (útil na prova): compare a densidade conjunta com o produto das marginais. Temos
f_X(x)f_Y(y)=(2x)(2y)=4xy=f(x,y)
para 0\le x,y\le 1. Isso mostra que X e Y são independentes (pois a conjunta fatora nas marginais). Um corolário útil: se X e Y são independentes então \operatorname{COV}(X,Y)=0. Vou, no entanto, calcular explicitamente \mathbb{E}[X], \mathbb{E}[Y] e \mathbb{E}[XY] para mostrar o procedimento completo.
Passo 5
Calcular \mathbb{E}[X] usando f_X(x):
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx=\int_{0}^{1} x\cdot 2x \,dx=2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.