(8 pontos) Sejam
e
variáveis aleatórias, com
e
independentes, tais que:
e
Seja
, aplique as propriedades (mostre o seu cálculo) e calcule:
a.(3 pts)
, o valor médio de
.
b.(5 pts)
, a variância de
.
a.(3 pts)
b.(5 pts)
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o valor médio e a variância da variável
definida por
Informações dadas (vou listar exatamente os números que o enunciado deu):
e foi informado que
e
são independentes e que
(note que isso é compatível com independência porque
).
As perguntas específicas são:
a) calcular ;
b) calcular .
As perguntas específicas são:
a) calcular
b) calcular
Passo 2
Regra usada para a esperança (explicando como aplicar): a esperança é linear. Ou seja, para constantes
e variáveis aleatórias
vale
onde
é constante (a esperança de uma constante é ela mesma). Aqui cada símbolo significa:
é valor médio,
são os coeficientes numéricos que multiplicam as variáveis e
é a constante somada. Vamos aplicar diretamente essa propriedade a
.
Passo 3
Aplicando a linearidade da esperança em
:
Agora substituo os valores dados:
Faço as multiplicações passo a passo:
Somando tudo:
Agrupando para facilitar:
Logo
.
Passo 4
Agora a variância. Regra usada (explicando): para variáveis
e constantes
vale
Explicando cada termo:
é a contribuição da variância de
escalada pelo quadrado do coeficiente; os termos com
aparecem porque somas de variáveis aleatórias não têm variância simplesmente somada quando há correlação entre elas. Além disso, constante adicionada em
(o
) não altera a variância, então podemos ignorá-la ao calcular
.
Passo 5
Identifico os coeficientes em
:
para
,
para
,
para
. Como
e
são independentes,
. Então a fórmula fica
Passo 6
Substituo os valores numéricos passo a passo. Primeiro os termos das variâncias:
Passo 7
Agora os termos de covariância:
(Confirmei que
, então o termo correspondente é nulo.)
Passo 8
Somando todos os termos que acabamos de calcular:
Faço a soma organizada:
Logo
.