(8 pontos) Sejam X, Y e W variáveis aleatórias, com X e Y independentes, tais que: E(X)=-0,40 \quad E(Y)=0,80 \quad E(W)=4,4 \quad e \quad V(X)=V(W)=0,84 \quad V(Y)=0,96
\operatorname{COV}(X, W)=-0,04 \quad \operatorname{COV}(Y, W)=-0,08 \text { e } E(X Y)=-0,32
Seja U=2 X-5 Y+W-1, aplique as propriedades (mostre o seu cálculo) e calcule:
a.(3 pts) E(U), o valor médio de U.
b.(5 pts) V(U), a variância de U.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o valor médio e a variância da variável U definida por
U=2X-5Y+W-1.
Informações dadas (vou listar exatamente os números que o enunciado deu):
E(X)=-0,40,\quad E(Y)=0,80,\quad E(W)=4,4,
V(X)=0,84,\quad V(Y)=0,96,\quad V(W)=0,84,
\operatorname{COV}(X,W)=-0,04,\quad \operatorname{COV}(Y,W)=-0,08,
e foi informado que X e Y são independentes e que E(XY)=-0,32 (note que isso é compatível com independência porque -0,40\times0,80=-0,32).
As perguntas específicas são:
a) calcular E(U);
b) calcular V(U).

Passo 2

Regra usada para a esperança (explicando como aplicar): a esperança é linear. Ou seja, para constantes a,b,c e variáveis aleatórias X,Y,W vale
E(aX+bY+cW+d)=aE(X)+bE(Y)+cE(W)+d,
onde d é constante (a esperança de uma constante é ela mesma). Aqui cada símbolo significa: E(\cdot) é valor médio, a,b,c são os coeficientes numéricos que multiplicam as variáveis e d é a constante somada. Vamos aplicar diretamente essa propriedade a U.

Passo 3

Aplicando a linearidade da esperança em U=2X-5Y+W-1:
E(U)=2E(X)-5E(Y)+E(W)-1.
Agora substituo os valores dados:
E(U)=2\cdot(-0,40)-5\cdot(0,80)+4,4-1.
Faço as multiplicações passo a passo:
2\cdot(-0,40)=-0,80,\qquad -5\cdot(0,80)=-4,00.
Somando tudo:
E(U)=-0,80-4,00+4,4-1.
Agrupando para facilitar:
-0,80-4,00=-4,80,
-4,80+4,4=-0,40,
-0,40-1=-1,40.
Logo E(U)=-1,40.

Passo 4

Agora a variância. Regra usada (explicando): para variáveis X,Y,W e constantes a,b,c vale
\operatorname{Var}(aX+bY+cW)=a^{2}\operatorname{Var}(X)+b^{2}\operatorname{Var}(Y)+c^{2}\operatorname{Var}(W) +2ab\,\operatorname{COV}(X,Y)+2ac\,\operatorname{COV}(X,W)+2bc\,\operatorname{COV}(Y,W).
Explicando cada termo: a^{2}\operatorname{Var}(X) é a contribuição da variância de X escalada pelo quadrado do coeficiente; os termos com \operatorname{COV} aparecem porque somas de variáveis aleatórias não têm variância simplesmente somada quando há correlação entre elas. Além disso, constante adicionada em U (o -1) não altera a variância, então podemos ignorá-la ao calcular \operatorname{Var}(U).

Passo 5

Identifico os coeficientes em U: a=2 para X, b=-5 para Y, c=1 para W. Como X e Y são independentes, \operatorname{COV}(X,Y)=0. Então a fórmula fica
\operatorname{Var}(U)=2^{2}\operatorname{Var}(X)+(-5)^{2}\operatorname{Var}(Y)+1^{2}\operatorname{Var}(W) +2\cdot2\cdot1\,\operatorname{COV}(X,W)+2\cdot(-5)\cdot1\,\operatorname{COV}(Y,W).

Passo 6

Substituo os valores numéricos passo a passo. Primeiro os termos das variâncias:
2^{2}\operatorname{Var}(X)=4\cdot0,84=3,36,
(-5)^{2}\operatorname{Var}(Y)=25\cdot0,96=24,00,
1^{2}\operatorname{Var}(W)=1\cdot0,84=0,84.

Passo 7

Agora os termos de covariância:
2\cdot2\cdot1\,\operatorname{COV}(X,W)=4\cdot(-0,04)=-0,16,
2\cdot(-5)\cdot1\,\operatorname{COV}(Y,W)=-10\cdot(-0,08)=0,80.
(Confirmei que \operatorname{COV}(X,Y)=0, então o termo correspondente é nulo.)

Passo 8

Somando todos os termos que acabamos de calcular:
\operatorname{Var}(U)=3,36+24,00+0,84-0,16+0,80.
Faço a soma organizada:
3,36+24,00=27,36,
27,36+0,84=28,20,
28,20-0,16=28,04,
28,04+0,80=28,84.
Logo \operatorname{Var}(U)=28,84.

Resposta

E(U)=-1,40
\,V(U)=28,84

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