(3 pontos) Faça os itens:
(b) Mostre por definição que:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2+4 x}{3}=2

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 1}\frac{2+4x}{3}=2.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{2+4x}{3}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • O valor limite que devemos justificar por definição é 2.

Passo 2

Relembrando a definição (em palavras simples): dizer que \lim_{x\to 1}f(x)=2 significa que para todo \varepsilon>0 existe um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, temos |f(x)-2|<\varepsilon.
Vou trabalhar a expressão |f(x)-2| e escolher um \delta em função de \varepsilon que torne essa desigualdade verdadeira.

Passo 3

Calculo a diferença entre f(x) e 2:
\left|\frac{2+4x}{3}-2\right| = \left|\frac{2+4x-6}{3}\right| = \left|\frac{4x-4}{3}\right| = \frac{4}{3}\,|x-1|.
Explicação: subtraiu-se 2=\dfrac{6}{3} do numerador; depois fatorou-se 4(x-1) e usou-se |ab|=|a||b|.

Passo 4

Queremos garantir que \dfrac{4}{3}|x-1|<\varepsilon. Como \dfrac{4}{3}>0, isso é equivalente a
|x-1|<\frac{3}{4}\,\varepsilon.
Portanto, uma escolha natural é tomar
\delta=\frac{3}{4}\,\varepsilon.
Observação: \delta>0 sempre que \varepsilon>0, então a escolha é válida para qualquer \varepsilon>0.

Passo 5

Prova formal final: seja dado qualquer \varepsilon>0. Escolha \delta=\dfrac{3}{4}\varepsilon. Se 0<|x-1|<\delta, então
\left|\frac{2+4x}{3}-2\right|=\frac{4}{3}\,|x-1|<\frac{4}{3}\,\delta=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}\,\varepsilon=\varepsilon.
Assim, pela definição de limite \lim_{x\to 1}\dfrac{2+4x}{3}=2.

Resposta

2

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