(3 pontos) Faça os itens:
(b) Encontre f^{\prime}(a) pela definição de derivada para a função:
f(x)=3 x^{2}-4 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x^{2}-4x+1 e pede para encontrar f'(a) “pela definição de derivada”.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=3x^{2}-4x+1.
  • O ponto onde precisamos da derivada é x=a (ou seja, queremos f'(a)).
  • Deve-se usar a definição clássica de derivada (diferença de quocientes com limite).

Passo 2

Escrevendo a definição de derivada no ponto a.
A derivada de f em a pela definição é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x. Aqui:
  • f(a+h) é o valor da função em a+h;
  • f(a) é o valor da função em a;
  • o quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a inclinação da secante que liga os pontos (a,f(a)) e (a+h,f(a+h));
  • o limite h\to0 faz a secante se aproximar da tangente em a, dando a inclinação da tangente.

Passo 3

Calcular f(a+h) substituindo x=a+h em f(x):
f(a+h)=3(a+h)^{2}-4(a+h)+1.
Agora expandir (a+h)^{2}:
(a+h)^{2}=a^{2}+2ah+h^{2}.
Portanto
f(a+h)=3\bigl(a^{2}+2ah+h^{2}\bigr)-4a-4h+1.
Multiplicando:
f(a+h)=3a^{2}+6ah+3h^{2}-4a-4h+1.

Passo 4

Calcular a diferença f(a+h)-f(a). Primeiro escrevendo f(a):
f(a)=3a^{2}-4a+1.
Agora a diferença:
f(a+h)-f(a)=\bigl(3a^{2}+6ah+3h^{2}-4a-4h+1\bigr)-\bigl(3a^{2}-4a+1\bigr).
Agrupando e cancelando termos iguais ( 3a^{2}, -4a e +1 se anulam):
f(a+h)-f(a)=6ah+3h^{2}-4h.

Passo 5

Fatorar h da expressão obtida (isso é importante porque vamos dividir por h):
f(a+h)-f(a)=h\bigl(6a+3h-4\bigr).
Agora formar o quociente da definição:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{h\bigl(6a+3h-4\bigr)}{h}=6a+3h-4,
válido para h\neq0. A divisão simplifica porque o fator h aparece multiplicando toda a diferença.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0. A expressão \;6a+3h-4\; é contínua em h, então basta substituir h=0:
f'(a)=\lim_{h\to0}\bigl(6a+3h-4\bigr)=6a+3\cdot 0-4=6a-4.
Portanto a derivada no ponto a é 6a-4.

Passo 7

Cheque de consistência (opcional, só para confirmar): aplicando a regra de potência e linearidade rapidamente, \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=6x, \dfrac{d}{dx}(-4x)=-4, constante some zero, então f'(x)=6x-4 e avaliando em x=a 6a-4, igual ao resultado obtido pela definição.

Resposta

\;f'(a)=6a-4

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