(3 pontos) Faça os itens:
(b) Encontre
pela definição de derivada para a função:
(b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
“pela definição de derivada”.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde precisamos da derivada é
(ou seja, queremos ). - Deve-se usar a definição clássica de derivada (diferença de quocientes com limite).
Passo 2
Escrevendo a definição de derivada no ponto
.
A derivada de em
pela definição é
A derivada de
onde
é um incremento pequeno em
. Aqui:
-
é o valor da função em ; -
é o valor da função em ; - o quociente
é a inclinação da secante que liga os pontos e ; - o limite
faz a secante se aproximar da tangente em , dando a inclinação da tangente.
Passo 3
Calcular
substituindo
em
:
Agora expandir
:
Portanto
Multiplicando:
Passo 4
Calcular a diferença
. Primeiro escrevendo
:
Agora a diferença:
Agrupando e cancelando termos iguais (
,
e
se anulam):
Passo 5
Fatorar
da expressão obtida (isso é importante porque vamos dividir por
):
Agora formar o quociente da definição:
válido para
. A divisão simplifica porque o fator
aparece multiplicando toda a diferença.
Passo 6
Tomar o limite quando
. A expressão
é contínua em
, então basta substituir
:
Portanto a derivada no ponto
é
.
Passo 7
Cheque de consistência (opcional, só para confirmar): aplicando a regra de potência e linearidade rapidamente,
,
, constante some zero, então
e avaliando em
dá
, igual ao resultado obtido pela definição.