Q2. ( 2,5 pontos). Um feixe de luz monocromática incide do ar sobre um sistema formado por três meios transparentes e homogêneos, dispostos em camadas planas e paralelas, conforme descrito abaixo:
Meio 1 (ar): n_{1}=1,0
Meio 2 (vidro): n_{2}=1,5
Meio 3 (água): n_{3}=1,33
O feixe incide no primeiro meio com ângulo de incidência \theta_{1}=30^{\circ} em relação à normal.
a) Determine o ângulo de refração no vidro e, logo, o ângulo de refração na água ( 1,2 pts).
b) Represente esquematicamente o caminho do raio ao atravessar as três interfaces ( 0,6 pts) .
c) Discuta se existe a possibilidade de reflexão total interna em alguma das interfaces e justifique sua resposta com base nos índices de refração ( 0,7 pts) .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (listei exatamente os números dados):
  • Meio 1 (ar): n_{1}=1,0.
  • Meio 2 (vidro): n_{2}=1,5.
  • Meio 3 (água): n_{3}=1,33.
  • Ângulo de incidência no primeiro meio: \theta_{1}=30^{\circ} (medido em relação à normal).
O enunciado pede três coisas:
a) Determinar o ângulo de refração no vidro e, em seguida, o ângulo de refração na água.
b) Representar esquematicamente o caminho do raio ao atravessar as três interfaces.
c) Discutir se existe possibilidade de reflexão total interna em alguma das interfaces e justificar usando os índices de refração.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aula rápida e didática sobre a lei):
  • A lei de Snell (lei da refração) diz que ao atravessar uma interface entre dois meios homogêneos e isotrópicos vale:
n_{i}\sin\theta_{i}=n_{t}\sin\theta_{t},
onde n_{i} é o índice do meio de incidência, \theta_{i} é o ângulo entre o raio e a normal no meio de incidência, n_{t} é o índice do meio de transmissão e \theta_{t} é o ângulo no meio transmitido.
  • Interpretação simples: quanto maior o índice, mais “lento” é o meio e o raio tende a aproximar-se da normal; quanto menor o índice, o raio tende a afastar-se da normal.
Aplicação ao primeiro salto (ar \to vidro): usar \,n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}\,. Colocando os valores:
\sin\theta_{2}=\dfrac{n_{1}}{n_{2}}\sin\theta_{1}=\dfrac{1,0}{1,5}\sin30^{\circ}.
Lembrete: \sin30^{\circ}=0,5. Portanto
\sin\theta_{2}=\dfrac{1,0}{1,5}\cdot 0,5=\dfrac{0,5}{1,5}=0,333\ldots
Agora obtemos o ângulo:
\theta_{2}=\arcsin(0,333\ldots)=\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\approx19,47^{\circ}.
Explicando: o raio, indo de um meio menos refringente ( n=1,0) para um mais refringente ( n=1,5), aproxima-se da normal: \theta_{2}<\theta_{1}, e o cálculo quantifica isso.

Passo 3

Agora aplicar Snell na interface vidro \to água (meio 2 \to meio 3). A lei é
n_{2}\sin\theta_{2}=n_{3}\sin\theta_{3}.
Já calculamos \sin\theta_{2}=1/3. Então
\sin\theta_{3}=\dfrac{n_{2}}{n_{3}}\sin\theta_{2}=\dfrac{1,5}{1,33}\cdot\dfrac{1}{3}.
Calculemos passo a passo (para poder fazer na prova sem volume excessivo de conta):
\dfrac{1,5}{1,33}\approx1,12782\quad\text{(divisão direta por aproximação)}.ãçã
Multiplicando por 1/3:
\sin\theta_{3}\approx1,12782\cdot0,33333\approx0,37594.
Portanto
\theta_{3}=\arcsin(0,37594)\approx22,07^{\circ}.
Interpretação: como n_{3}=1,33 é menor que n_{2}=1,5, ao sair do vidro para a água o raio tende a afastar-se um pouco da normal; de fato \theta_{3} é um pouco maior que \theta_{2}, mas ainda menor que \theta_{1}.

Passo 4

Representação esquemática do caminho do raio (desenho em texto, com as camadas planas e as direções dos raios). Cada linha vertical representa a normal à interface; as camadas estão em camadas horizontais:
Ar (Meio 1, n_{1}=1,0)
\n
ar \;\;\;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ normal
\n
incidente: \theta_{1}=30^{\circ} \diagdown
\n
-------------------- interface 1 (ar/vidro) --------------------
\n
Vidro (Meio 2, n_{2}=1,5)
\n
refratado em vidro: \theta_{2}\approx19,47^{\circ} \diagdown (menos inclinado que no ar)
\n
-------------------- interface 2 (vidro/água) --------------------
\n
Água (Meio 3, n_{3}=1,33)
\n
refratado na água: \theta_{3}\approx22,07^{\circ} \diagdown (um pouco mais afastado da normal que no vidro)
Observações práticas para desenhar à mão na prova: desenhe três faixas horizontais, trace a normal (linha vertical) em cada interface, desenhe o raio incidindo na primeira interface com \theta_{1}=30^{\circ} em relação à normal; no vidro desenhe um raio mais próximo da normal com \theta_{2}\approx19,5^{\circ}; ao passar para a água faça o raio deslocar-se levemente para longe da normal com \theta_{3}\approx22,1^{\circ}. Indique os índices n_{1},n_{2},n_{3} nas respetivas camadas.

Passo 5

Discussão sobre possibilidade de reflexão total interna (RTI), explicando o conceito e aplicando aos pares de meios:
  • Conceito: RTI pode ocorrer somente quando o raio tenta passar de um meio com índice maior para um meio com índice menor. Existe um ângulo crítico \theta_{c} tal que, para ângulos de incidência internos \theta>\theta_{c}, não há raio refratado e toda a energia é refletida internamente. O ângulo crítico satisfaz
\sin\theta_{c}=\dfrac{n_{\text{menor}}}{n_{\text{maior}}}
quando n_{\text{maior}}>n_{\text{menor}}.
Verificar cada interface do enunciado:
  1. Interface ar \to vidro ( n_{1}=1,0 para n_{2}=1,5): aqui o raio vai de índice menor para maior; RTI não pode ocorrer nessa direção. Mesmo se houvesse um raio vindo do vidro em direção ao ar (direção oposta), o par tem n_{\text{maior}}=1,5 e n_{\text{menor}}=1,0 — uma RTI seria possível teoricamente se o ângulo interno no vidro excedesse \theta_{c} com \sin\theta_{c}=1,0/1,5, mas no nosso cenário o raio no vidro tem \theta_{2}\approx19,47^{\circ}, que é muito menor que esse crítico (ver conta abaixo).
  2. Interface vidro \to água ( n_{2}=1,5 para n_{3}=1,33): este é um caso de índice maior \to menor, portanto RTI poderia ocorrer se o ângulo interno no vidro \theta_{2} fosse maior que o ângulo crítico \theta_{c} dado por
\sin\theta_{c}=\dfrac{n_{3}}{n_{2}}=\dfrac{1,33}{1,5}\approx0,88667.
Então
\theta_{c}=\arcsin(0,88667)\approx62,6^{\circ}.
Comparando com o ângulo real no vidro \theta_{2}\approx19,47^{\circ}, vemos que \theta_{2}\ll\theta_{c}. Logo não ocorre RTI na interface vidro-água para o raio considerado — ele é transmitido para a água (como calculado).
Conclusão geral sobre RTI no sistema dado:
  • Não há possibilidade de RTI no trajeto considerado (ar \to vidro \to água) para o ângulo de incidência \theta_{1}=30^{\circ}, porque o único par de meios em que RTI seria possível (vidro \to água) tem ângulo crítico cerca de 62,6^{\circ}, muito maior que o ângulo interno real \theta_{2}\approx19,47^{\circ}. Portanto não há reflexão total interna em nenhuma das interfaces para este caso. (Haveria RTI somente se a luz dentro do vidro se aproximasse da interface com ângulo interno maior que \approx62,6^{\circ}.)

Resposta

a) Ângulo no vidro: \theta_{2}\approx19,47^{\circ}.
a) Ângulo na água: \theta_{3}\approx22,07^{\circ}.
b) Esquema (texto): raio incide no ar com \theta_{1}=30^{\circ}, refrata no vidro com \theta_{2}\approx19,47^{\circ}, e refrata novamente na água com \theta_{3}\approx22,07^{\circ} (normais perpendiculares às interfaces).
c) Reflexão total interna? Não — não ocorre em nenhuma interface para este ângulo; o ângulo crítico para vidro \to água é \theta_{c}\approx62,6^{\circ}, muito maior que \theta_{2}.

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