Questão 07)Bônus (1,0) Usando a Equação da Lei de Resfriamento de Newton, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar a 30^{\circ} \mathrm{C} e resfriando a substância de 100^{\circ} \mathrm{C} para 70^{\circ} \mathrm{C} em 15 min, encontre a função que descreve a temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) em relação ao tempo (em minutos).

Passo 1

Vou anotar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos:
  • Temperatura do ar (ambiente): \,T_a=30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial da substância no instante zero: \,T(0)=100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Após 15 minutos a temperatura da substância é \,T(15)=70^{\circ}\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: encontrar a função que descreve a temperatura \,T(t) (em {}^{\circ}\mathrm{C}) em função do tempo \,t (em minutos), usando a Equação da Lei de Resfriamento de Newton.

Passo 2

Apresentando a Lei de Resfriamento de Newton e o significado das variáveis.
  • A Lei de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura do ambiente. Em fórmula:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
  • \,T(t) é a temperatura do corpo no tempo \,t;
  • \,T_a é a temperatura do ambiente (constante);
  • \,k>0 é a constante de proporcionalidade de resfriamento (unidade: minuto^{-1} aqui).
    Explicação simples: se o corpo está mais quente que o ar, ele perde calor e a diferença (T-T_a) diminui; o sinal negativo garante que \,T(t) decresce.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (passo a passo, separando variáveis).
  • Escrevemos a equação:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
  • Separando variáveis:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{dT}{T-T_a} = \int -k\,dt.
  • A primitiva do lado esquerdo é \ln|T-T_a|. Assim:
\ln\bigl|T-T_a\bigr| = -kt + C,
onde \,C é a constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados para isolar \,T:
\bigl|T-T_a\bigr| = \mathrm{e}^{-kt+C} = \mathrm{e}^{C}\mathrm{e}^{-kt}.
Como T-T_a será positivo inicialmente (corpo mais quente que o ar), podemos eliminar o valor absoluto e definir A=\mathrm{e}^{C}>0. Então:
T(t)-T_a = A\,\mathrm{e}^{-kt},
ou seja
T(t) = T_a + A\,\mathrm{e}^{-kt}.
  • Interpretação: A é a diferença inicial entre a temperatura do corpo e a do ar.

Passo 4

Determinar a constante A usando a condição inicial \,T(0)=100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Substituindo t=0 em T(t)=T_a + A\,\mathrm{e}^{-kt}:
T(0)=T_a + A\cdot \mathrm{e}^{0} = T_a + A.
  • Logo:
A = T(0)-T_a = 100 - 30 = 70.
  • Então a forma particular é:
T(t) = 30 + 70\,\mathrm{e}^{-kt}.

Passo 5

Determinar a constante k usando a condição \,T(15)=70^{\circ}\mathrm{C}.
  • Substituindo t=15 em T(t)=30+70\,\mathrm{e}^{-kt}:
70 = 30 + 70\,\mathrm{e}^{-15k}.
  • Isolando a exponencial:
70-30 = 70\,\mathrm{e}^{-15k}\quad\Rightarrow\quad 40 = 70\,\mathrm{e}^{-15k}.
  • Dividindo ambos os lados por 70:
\mathrm{e}^{-15k} = \frac{40}{70} = \frac{4}{7}.
  • Aplicando logaritmo natural:
-15k = \ln\!\left(\frac{4}{7}\right)\quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{15}\ln\!\left(\frac{4}{7}\right).
  • Podemos simplificar o sinal trocando a fração dentro do logaritmo:
k = \frac{1}{15}\ln\!\left(\frac{7}{4}\right).
  • Valor numérico aproximado (útil para aplicação prática):
\ln\!\left(\frac{7}{4}\right)\approx 0,5596158\quad\Rightarrow\quad k\approx \frac{0,5596158}{15}\approx 0,0373077.
Usando vírgula conforme convênio: k\approx 0,03731\\ \text{min}^{-1}.

Passo 6

Escrever a função final e apresentar formas equivalentes (exata e aproximada).
  • Substituindo A=70 e k=\dfrac{1}{15}\ln\!\left(\dfrac{7}{4}\right) em T(t)=30+70\,\mathrm{e}^{-kt}, obtemos a expressão exata:
T(t)=30+70\,\mathrm{e}^{-\left(\dfrac{\ln(7/4)}{15}\right)t}.
  • Uma forma mais simples e direta, usando potências, vem de notar que \mathrm{e}^{-15k}=\dfrac{4}{7}, então
\mathrm{e}^{-kt}=\left(\frac{4}{7}\right)^{t/15},
assim outra forma equivalente é
T(t)=30+70\left(\frac{4}{7}\right)^{t/15}.
  • Forma com o k numérico aproximado:
T(t)\approx 30+70\,\mathrm{e}^{-0,03731\,t}.
  • Verificação rápida: para t=0 T(0)=30+70=100. Para t=15, \mathrm{e}^{-15k}=\dfrac{4}{7} e então T(15)=30+70\cdot\frac{4}{7}=30+40=70, conforme dado.

Resposta

T(t)=30+70\,\mathrm{e}^{-\left(\dfrac{\ln(7/4)}{15}\right)t}=30+70\left(\frac{4}{7}\right)^{t/15}\approx 30+70\,\mathrm{e}^{-0,03731\,t}.

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