Questão 07)Bônus (1,0) Usando a Equação da Lei de Resfriamento de Newton, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar a 30^{\circ} \mathrm{C} e resfriando a substância de 100^{\circ} \mathrm{C} para 70^{\circ} \mathrm{C} em 15 min, encontre a função que descreve a temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) em relação ao tempo (em minutos).
Passo 1
Vou anotar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos:
Temperatura do ar (ambiente): \,T_a=30^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura inicial da substância no instante zero: \,T(0)=100^{\circ}\mathrm{C}.
Após 15 minutos a temperatura da substância é \,T(15)=70^{\circ}\mathrm{C}.
O enunciado pede: encontrar a função que descreve a temperatura \,T(t) (em {}^{\circ}\mathrm{C}) em função do tempo \,t (em minutos), usando a Equação da Lei de Resfriamento de Newton.
Passo 2
Apresentando a Lei de Resfriamento de Newton e o significado das variáveis.
A Lei de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura do ambiente. Em fórmula:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
\,T(t) é a temperatura do corpo no tempo \,t;
\,T_a é a temperatura do ambiente (constante);
\,k>0 é a constante de proporcionalidade de resfriamento (unidade: minuto^{-1} aqui).
Explicação simples: se o corpo está mais quente que o ar, ele perde calor e a diferença (T-T_a) diminui; o sinal negativo garante que \,T(t) decresce.
Passo 3
Resolver a equação diferencial (passo a passo, separando variáveis).
Escrevemos a equação:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
Separando variáveis:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados (integração indefinida):