(5 pontos; Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso h(t)=10 e^-1000|t|.
(a) Determine a resposta em frequência H(j omega) desse filtro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um filtro passa-baixas não-ideal com uma resposta ao impulso dada por . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a resposta em frequência desse filtro, que é representada por . Para isso, vamos usar a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo para o domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no tempo H(jomega) = integral-infty^infty h(t) e^-jomega t dt para uma função na frequência usando a seguinte fórmula:
No nosso caso, . Então, vamos substituir isso na fórmula.

Passo 3

Substituindo H(jomega) = integral-infty^infty 10 e^-1000|t| e^-jomega t dt na fórmula da Transformada de Fourier, temos:
Como a função é simétrica em relação ao tempo ( ), podemos simplificar a integral dividindo-a em duas partes: de a 0 e de 0 a .

Passo 4

Vamos dividir a integral:
H(jomega) = 10 ( integral-infty^0 e^1000t e^-jomega t dt + integral0^infty e^-1000t e^-jomega t dt )
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Resolviendo a primeira integral de integral-infty^0 e^1000t e^-jomega t dt = integral-infty^0 e^(1000 - jomega)t dt = 11000 - jomega [ e^(1000 - jomega)t ]-infty^0 = 11000 - jomega a 0:

Passo 6

Agora, resolvendo a segunda integral de 0 a integral0^infty e^-1000t e^-jomega t dt = integral0^infty e^-(1000 + jomega)t dt = 11000 + jomega [ -e^-(1000 + jomega)t ]0^infty = 11000 + jomega :

Passo 7

Juntando as duas integrais, temos:
H(jomega) = 10 ( 11000 - jomega + 11000 + jomega )
Para simplificar, vamos combinar as frações:
H(jomega) = 10 ( (1000 + jomega) + (1000 - jomega)(1000 - jomega)(1000 + jomega) ) = 10 ( 20001000^2 + omega^2 )

Passo 8

Finalmente, simplificando a expressão:
H(jomega) = 200001000000 + omega^2

Resposta

A resposta em frequência desse filtro é:
H(jomega) = 200001000000 + omega^2

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