(5 pontos; Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso
.
(a) Determine a resposta em frequência
desse filtro.
(a) Determine a resposta em frequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um filtro passa-baixas não-ideal com uma resposta ao impulso dada por
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a resposta em frequência desse filtro, que é representada por
. Para isso, vamos usar a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo para o domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no tempo
para uma função na frequência
usando a seguinte fórmula:
No nosso caso,
. Então, vamos substituir isso na fórmula.
Passo 3
Substituindo
na fórmula da Transformada de Fourier, temos:
Como a função
é simétrica em relação ao tempo (
), podemos simplificar a integral dividindo-a em duas partes: de
a 0 e de 0 a
.
Passo 4
Vamos dividir a integral:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Resolviendo a primeira integral de
a 0:
Passo 6
Agora, resolvendo a segunda integral de 0 a
:
Passo 7
Juntando as duas integrais, temos:
Para simplificar, vamos combinar as frações:
Passo 8
Finalmente, simplificando a expressão:
Resposta
A resposta em frequência desse filtro é: