Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.5) Interior à rosácea
.
(13.5) Interior à rosácea
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular a área da rosácea dada por
. O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares, e para isso precisamos da fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
A fórmula geral para a área de uma curva polar
entre
e
é
Aqui temos
, logo
Passo 3
Como a rosácea completa se desenha quando
vai de 0 até
, utilizamos esses limites no integral:
Passo 4
Para calcular
usamos a identidade
com
. Assim:
Passo 5
Integrando, o termo com
some no intervalo completo, e ficamos com
Substituindo em
dá
Resposta
2\pi