Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.5) Interior à rosácea r=2 sen 2 theta.

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a área da rosácea dada por r = 2 sin 2theta. O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares, e para isso precisamos da fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

A fórmula geral para a área de uma curva polar r=f(theta) entre theta=a e theta=b é
A = 12 integrala^b [f(theta)]^2 , dtheta
Aqui temos f(theta)=2sin2theta, logo
r^2 = (2sin2theta)^2 = 4sin^2 2theta

Passo 3

Como a rosácea completa se desenha quando theta vai de 0 até 2pi, utilizamos esses limites no integral:
A = 12 integral0^2pi 4sin^2 2theta , dtheta = 2 integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta

Passo 4

Para calcular integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta usamos a identidade
sin^2 u = 1-cos2u2
com u=2theta. Assim:
integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta = 12 integral0^2pi (1 - cos4theta) , dtheta

Passo 5

Integrando, o termo com cos4theta some no intervalo completo, e ficamos com
integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta = 12 l[thetar]0^2pi = 2pi2 = pi
Substituindo em A = 2 integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta
A = 2 cdot pi = 2pi

Resposta

2\pi

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