(2,0 pontos) Fixado
, seja
uma função contínua em
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que
, para quaisquer
e
.
(b) Fazendo
no item anterior, determine
.
(a) Mostre que
(b) Fazendo
Passo 1
O enunciado fixa
e uma função
contínua em
que satisfaz
Queremos, em (a), obter por iteração a fórmula
e em (b) tirar
usando
e a continuidade para encontrar a expressão fechada de
.
Passo 2
Mostramos a fórmula para
. A soma de
a
dá
e a fórmula afirma
o que é equivalente à condição
. Logo a base
vale.
Passo 3
Suponha a fórmula verdadeira para algum
, ou seja,
Usando a equação funcional em
, temos
Substituindo em
:
Isto completa o passo de indução, provando a fórmula para todo
.
Passo 4
Para achar
, fazemos
. Como
,
e pela continuidade em
vale
Mas da equação funcional em
segue
Logo o termo de resto
Enquanto isso a soma finita é parte da série geométrica de razão
, que converge para
Portanto, no limite
, obtemos