Questão 4. Supondo que a função diferencial z=f(x, y) é definida pela equação
y z+x ln y=z^2, determine partial zpartial x e partial zpartial y

Passo 1

O enunciado define implicitamente uma função z=f(x,y) pela equação
y,z + x ln y = z^2
e pede partial z/partial x e partial z/partial y. Vamos usar diferenciação implícita, definindo
F(x,y,z) = y,z + x ln y - z^2 = 0
e as fórmulas
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F tratando z como variável independente:
Fx = partialpartial x(y,z) + partialpartial x(x ln y) - partialpartial x(z^2) = 0 + ln y - 0 = ln y,
Fy = partialpartial y(y,z) + partialpartial y(x ln y) - partialpartial y(z^2) = z + xy - 0 = z + xy,
Fz = partialpartial z(y,z) + partialpartial z(x ln y) - partialpartial z(z^2) = y + 0 - 2z = y - 2z

Passo 3

Usar partial zpartial x = -FxFz:
partial zpartial x = -ln yy - 2z = ln y2z - y

Passo 4

Usar partial zpartial y = -FyFz:
partial zpartial y = -z + xyy - 2z = z + xy2z - y

Resposta

partial zpartial x = ln y2z - y, partial zpartial y = z + xy2z - y

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