( 3,4 pontos) Um gás, cujas moléculas possuem 2 átomos, sofre uma expansão a pressão constante (\mathrm{P}=2,00 \mathrm{~atm}), variando seu volume de um valor inicial \mathrm{V}_{\mathrm{i}}=24,4 \mathrm{~cm}^{3} para \mathrm{V}_{\mathrm{f}}= 78,3 \mathrm{~cm}^{3}.
a) ( 1,1 pontos) Que calor foi adicionado ao gás?
b) (1,1 pontos) Qual o trabalho realizado pelo gás?
c) (1,2 pontos) Qual a variação da energia interna do gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Pressão constante: P=2{,}00\\ \text{atm}.
  • Volume inicial: V_{\text{i}}=24{,}4\\ \text{cm}^3.
  • Volume final: V_{\text{f}}=78{,}3\\ \text{cm}^3.
  • As moléculas têm 2 átomos (ou seja, é um gás diatômico).
O enunciado pede:
a) Que calor foi adicionado ao gás? (ou seja, Q)
b) Qual o trabalho realizado pelo gás? (ou seja, W)
c) Qual a variação da energia interna do gás? (ou seja, \Delta U)

Passo 2

Converter unidades para o SI e calcular a variação de volume \Delta V.
  • Converter volumes de \text{cm}^3 para \text{m}^3: 1\\ \text{cm}^3=10^{-6}\\ \text{m}^3.
\Delta V = V_{\text{f}}-V_{\text{i}} = 78{,}3-24{,}4 = 53{,}9\\ \text{cm}^3.
\Delta V = 53{,}9\times10^{-6}\\ \text{m}^3 = 5{,}39\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Converter pressão de atm para pascal: 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
P = 2{,}00\\ \text{atm} = 2{,}00\times(1{,}013\times10^{5})\\ \mathrm{Pa} = 2{,}026\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Calcular o trabalho W realizado pelo gás numa expansão a pressão constante.
Conceito rápido: trabalho em processo isobárico é W = P\,\Delta V. Aqui P em pascal e \Delta V em \mathrm{m}^3 W em joules.
W = P\,\Delta V = \bigl(2{,}026\times10^{5}\bigr)\times\bigl(5{,}39\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{J}.
Calcule o produto:
W \approx 10{,}92014\\ \mathrm{J}\approx 10{,}9\\ \mathrm{J}
(arredondando para 3 algarismos significativos, compatível com os dados).
Comentário intuitivo: como o gás se expande, ele realiza trabalho positivo sobre o ambiente.

Passo 4

Determinar como calcular \Delta U e Q sem precisar conhecer n ou \Delta T explicitamente.
Teorema e conceitos úteis:
  • Primeira lei da termodinâmica: \Delta U = Q - W.
  • Para gás ideal mono- ou poliatômico, a energia interna molar depende de graus de liberdade f: o calor específico molar a volume constante é
C_V = \frac{f}{2}R,
onde R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • Para processo a pressão constante, P\Delta V = nR\Delta T. Assim podemos escrever \Delta U sem saber n nem \Delta T:
\Delta U = n C_V \Delta T = C_V\frac{P\Delta V}{R} = \frac{C_V}{R}P\Delta V.
  • Substituindo C_V/R=f/2 resulta em
\Delta U = \frac{f}{2}\,P\Delta V.
  • O calor fornecido em processo isobárico é
Q = \Delta U + W = \Delta U + P\Delta V = \Bigl(\frac{f}{2}+1\Bigr)P\Delta V.

Passo 5

Escolher f para gás diatômico e justificar.
Para um gás diatômico (duas moléculas ligadas, sem excitação vibracional a temperaturas moderadas) o número de graus de liberdade efetivos é
f=5
(3 de translação + 2 de rotação). Essa é a hipótese habitual em exercícios de termodinâmica a temperaturas onde modos vibracionais não contribuem. Vou usar f=5.

Passo 6

Calcular \Delta U usando \Delta U = \dfrac{f}{2}P\Delta V com f=5.
\Delta U = \frac{5}{2}\,P\Delta V = 2{,}5\times P\Delta V.
Já calculamos P\Delta V quando fizemos o trabalho; o valor numérico foi P\Delta V\approx 10{,}92014\\ \mathrm{J}. Logo
\Delta U \approx 2{,}5\times 10{,}92014\\ \mathrm{J} = 27{,}30035\\ \mathrm{J}\approx 27{,}3\\ \mathrm{J}.
Interpretação: energia interna do gás aumentou (expansão isobárica acompanhada de aumento de temperatura).

Passo 7

Calcular o calor Q usando Q = \Bigl(\dfrac{f}{2}+1\Bigr)P\Delta V.
Com f=5 temos \dfrac{f}{2}+1 = 2{,}5+1 = 3{,}5. Então
Q = 3{,}5\times P\Delta V \approx 3{,}5\times 10{,}92014\\ \mathrm{J} = 38{,}22049\\ \mathrm{J}\approx 38{,}2\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida pela primeira lei: Q - W \approx 38{,}2 - 10{,}9 = 27{,}3\\ \mathrm{J} = \Delta U, consistente.

Resposta

Q = 38{,}2\\ \mathrm{J}
W = 10{,}9\\ \mathrm{J}
\Delta U = 27{,}3\\ \mathrm{J}

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