( 3,4 pontos) Um gás que está em um volume 0,214 m^{3} e tem pressão manométrica 100,0 \mathrm{kPa} é expandido à temperatura constante até que a pressão real seja 98,00 \mathrm{kPa} e então refriado a pressão constante até atingir seu volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo gás. (a pressão manométrica é a diferenca entre a pressão real e a pressão atmosférica.)

Passo 1

O enunciado descreve dois processos sobre um gás ideal que parte de volume V_{1}=0,214\\ \mathrm{m}^3 e pressão (manométrica) P_{1}=100,0\\ \mathrm{kPa}, depois se expande isotermicamente até atingir P_{2}=98,00\\ \mathrm{kPa} e finalmente é comprimido a pressão constante P_{2} até voltar ao volume inicial V_{3}=V_{1}. Nosso objetivo é calcular o trabalho total \,W = W_{1\to2}+W_{2\to3} realizado pelo gás.

Passo 2

Na expansão isotérmica o produto P\,V se mantém constante, logo
V_{2}=V_{1}\,\frac{P_{1}}{P_{2}}.
Substituindo valores (tudo em unidades SI),
V_{2}=0{,}214\cdot\frac{100\,000}{98\,000}\approx0{,}21837\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás na isoterma de V_{1} a V_{2} é
W_{1\to2}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =P_{1}V_{1}\ln\!\biggl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\biggr).
Logo
W_{1\to2} =100\,000\cdot0{,}214\;\ln\!\Bigl(\frac{0{,}21837}{0{,}214}\Bigr) \approx432{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 4

No segundo processo a pressão é constante ( P_{2}) e o volume varia de V_{2} até V_{3}=V_{1}, então
W_{2\to3} =\int_{V_{2}}^{V_{3}}P_{2}\,dV =P_{2}\bigl(V_{3}-V_{2}\bigr).
Substituindo,
W_{2\to3} =98\,000\bigl(0{,}214-0{,}21837\bigr) \approx-428{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

O trabalho total realizado pelo gás é a soma
W = W_{1\to2}+W_{2\to3} \approx432{,}9 + (-428{,}0) \approx4{,}9\\ \mathrm{J}.

Resposta

O trabalho realizado pelo gás vale aproximadamente 4{,}9\\ \mathrm{J}.

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